Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8952 / 26105
↖ ↑ ↗
← S 72.372432°
W 81.650391°		 ← 369.95 m → S 72.372432°
W 81.639404°		 →
↑
369.90 m
↓
↑
369.90 m
↓
S 72.375758°
W 81.650391°		 ← 369.88 m →
136 831 m²		 S 72.375758°
W 81.639404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273208618164062 y=0.796676635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273208618164062 × 215)
    floor (0.273208618164062 × 32768)
    floor (8952.5)     		tx = 8952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796676635742188 × 215)
    floor (0.796676635742188 × 32768)
    floor (26105.5)     		ty = 26105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8952 / 26105 ti = "15/8952/26105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8952/26105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8952 ÷ 215
    8952 ÷ 32768     		x = 0.273193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26105 ÷ 215
    26105 ÷ 32768     		y = 0.796661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.273193359375 × 2 - 1) × π
    -0.45361328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42506815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.59332275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86397840482626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42506815} λ = -1.42506815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86397840482626))-π/2
    2×atan(0.155054531962121)-π/2
    2×0.153829552249054-π/2
    0.307659104498108-1.57079632675     		φ = -1.26313722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42506815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.650391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26313722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.372432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8952 KachelY 26105 -1.42506815 -1.26313722 -81.650391 -72.372432
    Oben rechts KachelX + 1 8953 KachelY 26105 -1.42487640 -1.26313722 -81.639404 -72.372432
    Unten links KachelX 8952 KachelY + 1 26106 -1.42506815 -1.26319528 -81.650391 -72.375758
    Unten rechts KachelX + 1 8953 KachelY + 1 26106 -1.42487640 -1.26319528 -81.639404 -72.375758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26313722--1.26319528) × R
    5.80599999999709e-05 × 6371000     		dl = 369.900259999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26313722--1.26319528) × R
    5.80599999999709e-05 × 6371000     		dr = 369.900259999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42506815--1.42487640) × cos(-1.26313722) × R
    0.000191749999999935 × 0.302828491469851 × 6371000     		do = 369.947171197734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42506815--1.42487640) × cos(-1.26319528) × R
    0.000191749999999935 × 0.302773157162727 × 6371000     		du = 369.87957263628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26313722)-sin(-1.26319528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302828491469851-0.302773157162727)×R²
    abs(-1.42487640--1.42506815)×5.53343071237888e-05×R²
    0.000191749999999935×5.53343071237888e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.53343071237888e-05×40589641000000     		ar = 136831.052488193m²