Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 895 / 1143
↖ ↑ ↗
← N 78.143526°
W140.668945°		 ← 1 003.98 m → N 78.143526°
W140.625000°		 →
↑
1 004.32 m
↓
↑
1 004.32 m
↓
N 78.134493°
W140.668945°		 ← 1 004.74 m →
1 008 703 m²		 N 78.134493°
W140.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10931396484375 y=0.13958740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10931396484375 × 213)
    floor (0.10931396484375 × 8192)
    floor (895.5)     		tx = 895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13958740234375 × 213)
    floor (0.13958740234375 × 8192)
    floor (1143.5)     		ty = 1143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 895 / 1143 ti = "13/895/1143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/895/1143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 895 ÷ 213
    895 ÷ 8192     		x = 0.1092529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1143 ÷ 213
    1143 ÷ 8192     		y = 0.1395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.781494140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45513625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1395263671875 × 2 - 1) × π
    0.720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26492263324841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45513625} λ = -2.45513625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26492263324841))-π/2
    2×atan(9.63037950110912)-π/2
    2×1.46732906890457-π/2
    2.93465813780914-1.57079632675     		φ = 1.36386181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45513625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36386181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.143526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 895 KachelY 1143 -2.45513625 1.36386181 -140.668945 78.143526
    Oben rechts KachelX + 1 896 KachelY 1143 -2.45436926 1.36386181 -140.625000 78.143526
    Unten links KachelX 895 KachelY + 1 1144 -2.45513625 1.36370417 -140.668945 78.134493
    Unten rechts KachelX + 1 896 KachelY + 1 1144 -2.45436926 1.36370417 -140.625000 78.134493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36386181-1.36370417) × R
    0.000157639999999848 × 6371000     		dl = 1004.32443999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36386181-1.36370417) × R
    0.000157639999999848 × 6371000     		dr = 1004.32443999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45513625--2.45436926) × cos(1.36386181) × R
    0.000766989999999801 × 0.205460787731022 × 6371000     		do = 1003.98276060549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45513625--2.45436926) × cos(1.36370417) × R
    0.000766989999999801 × 0.205615061983061 × 6371000     		du = 1004.7366207029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36386181)-sin(1.36370417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205460787731022-0.205615061983061)×R²
    abs(-2.45436926--2.45513625)×0.0001542742520384×R²
    0.000766989999999801×0.0001542742520384×6371000²
    0.000766989999999801×0.0001542742520384×40589641000000     		ar = 1008702.98596228m²