Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8949 / 7901
↖ ↑ ↗
← N  6.380812°
E 16.633301°		 ← 2 428.14 m → N  6.380812°
E 16.655273°		 →
↑
2 428.12 m
↓
↑
2 428.12 m
↓
N  6.358976°
E 16.633301°		 ← 2 428.25 m →
5 895 937 m²		 N  6.358976°
E 16.655273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546234130859375 y=0.482269287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546234130859375 × 214)
    floor (0.546234130859375 × 16384)
    floor (8949.5)     		tx = 8949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482269287109375 × 214)
    floor (0.482269287109375 × 16384)
    floor (7901.5)     		ty = 7901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8949 / 7901 ti = "14/8949/7901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8949/7901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8949 ÷ 214
    8949 ÷ 16384     		x = 0.54620361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7901 ÷ 214
    7901 ÷ 16384     		y = 0.48223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54620361328125 × 2 - 1) × π
    0.0924072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29030586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48223876953125 × 2 - 1) × π
    0.0355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.111597102315491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29030586} λ = 0.29030586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111597102315491))-π/2
    2×atan(1.11806230517337)-π/2
    2×0.841081255467953-π/2
    1.68216251093591-1.57079632675     		φ = 0.11136618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29030586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.633301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11136618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.380812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8949 KachelY 7901 0.29030586 0.11136618 16.633301 6.380812
    Oben rechts KachelX + 1 8950 KachelY 7901 0.29068936 0.11136618 16.655273 6.380812
    Unten links KachelX 8949 KachelY + 1 7902 0.29030586 0.11098506 16.633301 6.358976
    Unten rechts KachelX + 1 8950 KachelY + 1 7902 0.29068936 0.11098506 16.655273 6.358976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11136618-0.11098506) × R
    0.000381119999999999 × 6371000     		dl = 2428.11551999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11136618-0.11098506) × R
    0.000381119999999999 × 6371000     		dr = 2428.11551999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29030586-0.29068936) × cos(0.11136618) × R
    0.000383499999999981 × 0.993805193500875 × 6371000     		do = 2428.14286246891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29030586-0.29068936) × cos(0.11098506) × R
    0.000383499999999981 × 0.99384747752193 × 6371000     		du = 2428.24617410844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11136618)-sin(0.11098506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993805193500875-0.99384747752193)×R²
    abs(0.29068936-0.29030586)×4.22840210545505e-05×R²
    0.000383499999999981×4.22840210545505e-05×6371000²
    0.000383499999999981×4.22840210545505e-05×40589641000000     		ar = 5895936.8668022m²