Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8946 / 7904
↖ ↑ ↗
← N  6.315298°
E 16.567383°		 ← 2 428.39 m → N  6.315298°
E 16.589355°		 →
↑
2 428.43 m
↓
↑
2 428.43 m
↓
N  6.293459°
E 16.567383°		 ← 2 428.49 m →
5 897 305 m²		 N  6.293459°
E 16.589355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546051025390625 y=0.482452392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546051025390625 × 214)
    floor (0.546051025390625 × 16384)
    floor (8946.5)     		tx = 8946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482452392578125 × 214)
    floor (0.482452392578125 × 16384)
    floor (7904.5)     		ty = 7904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8946 / 7904 ti = "14/8946/7904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8946/7904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8946 ÷ 214
    8946 ÷ 16384     		x = 0.5460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7904 ÷ 214
    7904 ÷ 16384     		y = 0.482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5460205078125 × 2 - 1) × π
    0.092041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28915538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482421875 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28915538} λ = 0.28915538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.110446616724609))-π/2
    2×atan(1.11677673026107)-π/2
    2×0.840509539766002-π/2
    1.681019079532-1.57079632675     		φ = 0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28915538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.567383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8946 KachelY 7904 0.28915538 0.11022275 16.567383 6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 8947 KachelY 7904 0.28953887 0.11022275 16.589355 6.315298
    Unten links KachelX 8946 KachelY + 1 7905 0.28915538 0.10984158 16.567383 6.293459
    Unten rechts KachelX + 1 8947 KachelY + 1 7905 0.28953887 0.10984158 16.589355 6.293459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11022275-0.10984158) × R
    0.00038117 × 6371000     		dl = 2428.43407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11022275-0.10984158) × R
    0.00038117 × 6371000     		dr = 2428.43407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28915538-0.28953887) × cos(0.11022275) × R
    0.000383489999999986 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 2428.38843467613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28915538-0.28953887) × cos(0.10984158) × R
    0.000383489999999986 × 0.993973476562436 × 6371000     		du = 2428.49069880498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11022275)-sin(0.10984158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.993973476562436)×R²
    abs(0.28953887-0.28915538)×4.18563808879391e-05×R²
    0.000383489999999986×4.18563808879391e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.18563808879391e-05×40589641000000     		ar = 5897305.45221074m²