Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8945 / 7900
↖ ↑ ↗
← N  6.402649°
E 16.545410°		 ← 2 428.04 m → N  6.402649°
E 16.567383°		 →
↑
2 428.12 m
↓
↑
2 428.12 m
↓
N  6.380812°
E 16.545410°		 ← 2 428.14 m →
5 895 686 m²		 N  6.380812°
E 16.567383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545989990234375 y=0.482208251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545989990234375 × 214)
    floor (0.545989990234375 × 16384)
    floor (8945.5)     		tx = 8945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.482208251953125 × 214)
    floor (0.482208251953125 × 16384)
    floor (7900.5)     		ty = 7900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8945 / 7900 ti = "14/8945/7900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8945/7900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8945 ÷ 214
    8945 ÷ 16384     		x = 0.54595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7900 ÷ 214
    7900 ÷ 16384     		y = 0.482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54595947265625 × 2 - 1) × π
    0.0919189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28877188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.482177734375 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.111980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28877188} λ = 0.28877188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.111980597512451))-π/2
    2×atan(1.11849115892373)-π/2
    2×0.841271811161676-π/2
    1.68254362232335-1.57079632675     		φ = 0.11174730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28877188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.545410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11174730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.402649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8945 KachelY 7900 0.28877188 0.11174730 16.545410 6.402649
    Oben rechts KachelX + 1 8946 KachelY 7900 0.28915538 0.11174730 16.567383 6.402649
    Unten links KachelX 8945 KachelY + 1 7901 0.28877188 0.11136618 16.545410 6.380812
    Unten rechts KachelX + 1 8946 KachelY + 1 7901 0.28915538 0.11136618 16.567383 6.380812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11174730-0.11136618) × R
    0.000381119999999999 × 6371000     		dl = 2428.11551999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11174730-0.11136618) × R
    0.000381119999999999 × 6371000     		dr = 2428.11551999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28877188-0.28915538) × cos(0.11174730) × R
    0.000383500000000037 × 0.993762765127179 × 6371000     		do = 2428.03919813602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28877188-0.28915538) × cos(0.11136618) × R
    0.000383500000000037 × 0.993805193500875 × 6371000     		du = 2428.14286246926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11174730)-sin(0.11136618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993762765127179-0.993805193500875)×R²
    abs(0.28915538-0.28877188)×4.24283736963904e-05×R²
    0.000383500000000037×4.24283736963904e-05×6371000²
    0.000383500000000037×4.24283736963904e-05×40589641000000     		ar = 5895685.58601407m²