Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8944 / 6737
↖ ↑ ↗
← N 80.574446°
W130.869140°		 ← 100.03 m → N 80.574446°
W130.863648°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 80.573547°
W130.869140°		 ← 100.04 m →
10 006 m²		 N 80.573547°
W130.863648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136482238769531 y=0.102806091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136482238769531 × 216)
    floor (0.136482238769531 × 65536)
    floor (8944.5)     		tx = 8944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102806091308594 × 216)
    floor (0.102806091308594 × 65536)
    floor (6737.5)     		ty = 6737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8944 / 6737 ti = "16/8944/6737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8944/6737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8944 ÷ 216
    8944 ÷ 65536     		x = 0.136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6737 ÷ 216
    6737 ÷ 65536     		y = 0.102798461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136474609375 × 2 - 1) × π
    -0.72705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28409739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102798461914062 × 2 - 1) × π
    0.794403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49569086801936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28409739} λ = -2.28409739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49569086801936))-π/2
    2×atan(12.1301109301263)-π/2
    2×1.48854285223586-π/2
    2.97708570447172-1.57079632675     		φ = 1.40628938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28409739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.869140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40628938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.574446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8944 KachelY 6737 -2.28409739 1.40628938 -130.869140 80.574446
    Oben rechts KachelX + 1 8945 KachelY 6737 -2.28400152 1.40628938 -130.863648 80.574446
    Unten links KachelX 8944 KachelY + 1 6738 -2.28409739 1.40627368 -130.869140 80.573547
    Unten rechts KachelX + 1 8945 KachelY + 1 6738 -2.28400152 1.40627368 -130.863648 80.573547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40628938-1.40627368) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dl = 100.024700000401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40628938-1.40627368) × R
    1.57000000000629e-05 × 6371000     		dr = 100.024700000401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28409739--2.28400152) × cos(1.40628938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16376595431352 × 6371000     		do = 100.026242037074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28409739--2.28400152) × cos(1.40627368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163781442331099 × 6371000     		du = 100.035701928793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40628938)-sin(1.40627368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16376595431352-0.163781442331099)×R²
    abs(-2.28400152--2.28409739)×1.54880175792238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54880175792238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54880175792238e-05×40589641000000     		ar = 10005.5679634933m²