Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8943 / 6735
↖ ↑ ↗
← N 80.576245°
W130.874634°		 ← 100.02 m → N 80.576245°
W130.869140°		 →
↑
100.02 m
↓
↑
100.02 m
↓
N 80.575346°
W130.874634°		 ← 100.03 m →
10 005 m²		 N 80.575346°
W130.869140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.136466979980469 y=0.102775573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.136466979980469 × 216)
    floor (0.136466979980469 × 65536)
    floor (8943.5)     		tx = 8943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102775573730469 × 216)
    floor (0.102775573730469 × 65536)
    floor (6735.5)     		ty = 6735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8943 / 6735 ti = "16/8943/6735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8943/6735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8943 ÷ 216
    8943 ÷ 65536     		x = 0.136459350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6735 ÷ 216
    6735 ÷ 65536     		y = 0.102767944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.136459350585938 × 2 - 1) × π
    -0.727081298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28419327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102767944335938 × 2 - 1) × π
    0.794464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49588261561784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28419327} λ = -2.28419327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49588261561784))-π/2
    2×atan(12.1324370727755)-π/2
    2×1.48855855161542-π/2
    2.97711710323083-1.57079632675     		φ = 1.40632078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28419327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.874634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40632078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.576245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8943 KachelY 6735 -2.28419327 1.40632078 -130.874634 80.576245
    Oben rechts KachelX + 1 8944 KachelY 6735 -2.28409739 1.40632078 -130.869140 80.576245
    Unten links KachelX 8943 KachelY + 1 6736 -2.28419327 1.40630508 -130.874634 80.575346
    Unten rechts KachelX + 1 8944 KachelY + 1 6736 -2.28409739 1.40630508 -130.869140 80.575346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40632078-1.40630508) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dl = 100.024699998986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40632078-1.40630508) × R
    1.56999999998408e-05 × 6371000     		dr = 100.024699998986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28419327--2.28409739) × cos(1.40632078) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163734978157265 × 6371000     		do = 100.017753735068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28419327--2.28409739) × cos(1.40630508) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.163750466255574 × 6371000     		du = 100.027214662842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40632078)-sin(1.40630508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163734978157265-0.163750466255574)×R²
    abs(-2.28409739--2.28419327)×1.54880983085359e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.54880983085359e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.54880983085359e-05×40589641000000     		ar = 10004.7189755997m²