Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8940 / 7892
↖ ↑ ↗
← N  6.577303°
E 16.435547°		 ← 2 427.13 m → N  6.577303°
E 16.457519°		 →
↑
2 427.22 m
↓
↑
2 427.22 m
↓
N  6.555475°
E 16.435547°		 ← 2 427.24 m →
5 891 326 m²		 N  6.555475°
E 16.457519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545684814453125 y=0.481719970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545684814453125 × 214)
    floor (0.545684814453125 × 16384)
    floor (8940.5)     		tx = 8940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481719970703125 × 214)
    floor (0.481719970703125 × 16384)
    floor (7892.5)     		ty = 7892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8940 / 7892 ti = "14/8940/7892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8940/7892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8940 ÷ 214
    8940 ÷ 16384     		x = 0.545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7892 ÷ 214
    7892 ÷ 16384     		y = 0.481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545654296875 × 2 - 1) × π
    0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    0.03662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28685441} λ = 0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.115048559088135))-π/2
    2×atan(1.12192791604577)-π/2
    2×0.842795961052291-π/2
    1.68559192210458-1.57079632675     		φ = 0.11479560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11479560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.577303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8940 KachelY 7892 0.28685441 0.11479560 16.435547 6.577303
    Oben rechts KachelX + 1 8941 KachelY 7892 0.28723790 0.11479560 16.457519 6.577303
    Unten links KachelX 8940 KachelY + 1 7893 0.28685441 0.11441462 16.435547 6.555475
    Unten rechts KachelX + 1 8941 KachelY + 1 7893 0.28723790 0.11441462 16.457519 6.555475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11479560-0.11441462) × R
    0.000380980000000003 × 6371000     		dl = 2427.22358000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11479560-0.11441462) × R
    0.000380980000000003 × 6371000     		dr = 2427.22358000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28685441-0.28723790) × cos(0.11479560) × R
    0.000383489999999986 × 0.993418217785461 × 6371000     		do = 2427.13408234879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28685441-0.28723790) × cos(0.11441462) × R
    0.000383489999999986 × 0.993461784523668 × 6371000     		du = 2427.24052524793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11479560)-sin(0.11441462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993418217785461-0.993461784523668)×R²
    abs(0.28723790-0.28685441)×4.35667382068239e-05×R²
    0.000383489999999986×4.35667382068239e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.35667382068239e-05×40589641000000     		ar = 5891326.32811441m²