Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 894 / 902
↖ ↑ ↗
← N 70.436799°
W101.425781°		 ← 3 272.45 m → N 70.436799°
W101.337891°		 →
↑
3 274.82 m
↓
↑
3 274.82 m
↓
N 70.407347°
W101.425781°		 ← 3 277.18 m →
10 724 439 m²		 N 70.407347°
W101.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2183837890625 y=0.2203369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2183837890625 × 212)
    floor (0.2183837890625 × 4096)
    floor (894.5)     		tx = 894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2203369140625 × 212)
    floor (0.2203369140625 × 4096)
    floor (902.5)     		ty = 902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 894 / 902 ti = "12/894/902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/894/902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 894 ÷ 212
    894 ÷ 4096     		x = 0.21826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 902 ÷ 212
    902 ÷ 4096     		y = 0.22021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21826171875 × 2 - 1) × π
    -0.5634765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77021383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22021484375 × 2 - 1) × π
    0.5595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7579419828667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77021383} λ = -1.77021383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7579419828667))-π/2
    2×atan(5.8004875993179)-π/2
    2×1.40007519036328-π/2
    2.80015038072656-1.57079632675     		φ = 1.22935405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77021383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22935405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.436799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 894 KachelY 902 -1.77021383 1.22935405 -101.425781 70.436799
    Oben rechts KachelX + 1 895 KachelY 902 -1.76867985 1.22935405 -101.337891 70.436799
    Unten links KachelX 894 KachelY + 1 903 -1.77021383 1.22884003 -101.425781 70.407347
    Unten rechts KachelX + 1 895 KachelY + 1 903 -1.76867985 1.22884003 -101.337891 70.407347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22935405-1.22884003) × R
    0.000514020000000004 × 6371000     		dl = 3274.82142000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22935405-1.22884003) × R
    0.000514020000000004 × 6371000     		dr = 3274.82142000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77021383--1.76867985) × cos(1.22935405) × R
    0.00153398000000005 × 0.334846457993195 × 6371000     		do = 3272.44994032813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77021383--1.76867985) × cos(1.22884003) × R
    0.00153398000000005 × 0.335330760751424 × 6371000     		du = 3277.18302468496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22935405)-sin(1.22884003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334846457993195-0.335330760751424)×R²
    abs(-1.76867985--1.77021383)×0.000484302758228805×R²
    0.00153398000000005×0.000484302758228805×6371000²
    0.00153398000000005×0.000484302758228805×40589641000000     		ar = 10724439.3996094m²