Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 894 / 280
↖ ↑ ↗
← N 78.349410°
W 22.851562°		 ← 3 947.17 m → N 78.349410°
W 22.675781°		 →
↑
3 953.08 m
↓
↑
3 953.08 m
↓
N 78.313860°
W 22.851562°		 ← 3 959.05 m →
15 626 939 m²		 N 78.313860°
W 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436767578125 y=0.136962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436767578125 × 211)
    floor (0.436767578125 × 2048)
    floor (894.5)     		tx = 894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136962890625 × 211)
    floor (0.136962890625 × 2048)
    floor (280.5)     		ty = 280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 894 / 280 ti = "11/894/280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/894/280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 894 ÷ 211
    894 ÷ 2048     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 280 ÷ 211
    280 ÷ 2048     		y = 0.13671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13671875 × 2 - 1) × π
    0.7265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28256341230859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28256341230859))-π/2
    2×atan(9.80177422158009)-π/2
    2×1.46912575516101-π/2
    2.93825151032202-1.57079632675     		φ = 1.36745518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36745518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.349410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 894 KachelY 280 -0.39883500 1.36745518 -22.851562 78.349410
    Oben rechts KachelX + 1 895 KachelY 280 -0.39576704 1.36745518 -22.675781 78.349410
    Unten links KachelX 894 KachelY + 1 281 -0.39883500 1.36683470 -22.851562 78.313860
    Unten rechts KachelX + 1 895 KachelY + 1 281 -0.39576704 1.36683470 -22.675781 78.313860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36745518-1.36683470) × R
    0.000620480000000034 × 6371000     		dl = 3953.07808000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36745518-1.36683470) × R
    0.000620480000000034 × 6371000     		dr = 3953.07808000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39576704) × cos(1.36745518) × R
    0.00306795999999998 × 0.201942762110113 × 6371000     		do = 3947.16780806051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39576704) × cos(1.36683470) × R
    0.00306795999999998 × 0.202550419650011 × 6371000     		du = 3959.04506602583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36745518)-sin(1.36683470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201942762110113-0.202550419650011)×R²
    abs(-0.39576704--0.39883500)×0.000607657539898138×R²
    0.00306795999999998×0.000607657539898138×6371000²
    0.00306795999999998×0.000607657539898138×40589641000000     		ar = 15626938.9055335m²