Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 894 / 1149
↖ ↑ ↗
← N 78.089229°
W140.712891°		 ← 1 008.51 m → N 78.089229°
W140.668945°		 →
↑
1 008.91 m
↓
↑
1 008.91 m
↓
N 78.080156°
W140.712891°		 ← 1 009.27 m →
1 017 884 m²		 N 78.080156°
W140.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10919189453125 y=0.14031982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10919189453125 × 213)
    floor (0.10919189453125 × 8192)
    floor (894.5)     		tx = 894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14031982421875 × 213)
    floor (0.14031982421875 × 8192)
    floor (1149.5)     		ty = 1149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 894 / 1149 ti = "13/894/1149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/894/1149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 894 ÷ 213
    894 ÷ 8192     		x = 0.109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1149 ÷ 213
    1149 ÷ 8192     		y = 0.1402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.78173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45590324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1402587890625 × 2 - 1) × π
    0.719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26032069088489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45590324} λ = -2.45590324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26032069088489))-π/2
    2×atan(9.58616286893702)-π/2
    2×1.46685524342843-π/2
    2.93371048685685-1.57079632675     		φ = 1.36291416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45590324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36291416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.089229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 894 KachelY 1149 -2.45590324 1.36291416 -140.712891 78.089229
    Oben rechts KachelX + 1 895 KachelY 1149 -2.45513625 1.36291416 -140.668945 78.089229
    Unten links KachelX 894 KachelY + 1 1150 -2.45590324 1.36275580 -140.712891 78.080156
    Unten rechts KachelX + 1 895 KachelY + 1 1150 -2.45513625 1.36275580 -140.668945 78.080156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36291416-1.36275580) × R
    0.000158360000000135 × 6371000     		dl = 1008.91156000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36291416-1.36275580) × R
    0.000158360000000135 × 6371000     		dr = 1008.91156000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45590324--2.45513625) × cos(1.36291416) × R
    0.000766990000000245 × 0.206388127553836 × 6371000     		do = 1008.51420042781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45590324--2.45513625) × cos(1.36275580) × R
    0.000766990000000245 × 0.206543075506861 × 6371000     		du = 1009.27135256056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36291416)-sin(1.36275580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206388127553836-0.206543075506861)×R²
    abs(-2.45513625--2.45590324)×0.00015494795302437×R²
    0.000766990000000245×0.00015494795302437×6371000²
    0.000766990000000245×0.00015494795302437×40589641000000     		ar = 1017883.58713338m²