Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8939 / 7887
↖ ↑ ↗
← N  6.686431°
E 16.413574°		 ← 2 426.66 m → N  6.686431°
E 16.435547°		 →
↑
2 426.65 m
↓
↑
2 426.65 m
↓
N  6.664608°
E 16.413574°		 ← 2 426.77 m →
5 888 786 m²		 N  6.664608°
E 16.435547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545623779296875 y=0.481414794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545623779296875 × 214)
    floor (0.545623779296875 × 16384)
    floor (8939.5)     		tx = 8939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481414794921875 × 214)
    floor (0.481414794921875 × 16384)
    floor (7887.5)     		ty = 7887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8939 / 7887 ti = "14/8939/7887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8939/7887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8939 ÷ 214
    8939 ÷ 16384     		x = 0.54559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7887 ÷ 214
    7887 ÷ 16384     		y = 0.48138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54559326171875 × 2 - 1) × π
    0.0911865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.28647091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48138427734375 × 2 - 1) × π
    0.0372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.116966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28647091} λ = 0.28647091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.116966035072937))-π/2
    2×atan(1.12408124970449)-π/2
    2×0.843748283679301-π/2
    1.6874965673586-1.57079632675     		φ = 0.11670024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28647091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.413574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11670024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.686431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8939 KachelY 7887 0.28647091 0.11670024 16.413574 6.686431
    Oben rechts KachelX + 1 8940 KachelY 7887 0.28685441 0.11670024 16.435547 6.686431
    Unten links KachelX 8939 KachelY + 1 7888 0.28647091 0.11631935 16.413574 6.664608
    Unten rechts KachelX + 1 8940 KachelY + 1 7888 0.28685441 0.11631935 16.435547 6.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11670024-0.11631935) × R
    0.000380889999999995 × 6371000     		dl = 2426.65018999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11670024-0.11631935) × R
    0.000380889999999995 × 6371000     		dr = 2426.65018999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28647091-0.28685441) × cos(0.11670024) × R
    0.000383499999999981 × 0.993198251638288 × 6371000     		do = 2426.6599344653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28647091-0.28685441) × cos(0.11631935) × R
    0.000383499999999981 × 0.993242528721517 × 6371000     		du = 2426.76811571079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11670024)-sin(0.11631935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993198251638288-0.993242528721517)×R²
    abs(0.28685441-0.28647091)×4.42770832280726e-05×R²
    0.000383499999999981×4.42770832280726e-05×6371000²
    0.000383499999999981×4.42770832280726e-05×40589641000000     		ar = 5888786.12124969m²