Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8939 / 5371
↖ ↑ ↗
← N 76.198106°
W 81.793213°		 ← 291.44 m → N 76.198106°
W 81.782226°		 →
↑
291.47 m
↓
↑
291.47 m
↓
N 76.195485°
W 81.793213°		 ← 291.50 m →
84 955 m²		 N 76.195485°
W 81.782226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272811889648438 y=0.163925170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272811889648438 × 215)
    floor (0.272811889648438 × 32768)
    floor (8939.5)     		tx = 8939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163925170898438 × 215)
    floor (0.163925170898438 × 32768)
    floor (5371.5)     		ty = 5371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8939 / 5371 ti = "15/8939/5371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8939/5371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8939 ÷ 215
    8939 ÷ 32768     		x = 0.272796630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5371 ÷ 215
    5371 ÷ 32768     		y = 0.163909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.45440673828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.42756087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163909912109375 × 2 - 1) × π
    0.67218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11171630206271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42756087} λ = -1.42756087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11171630206271))-π/2
    2×atan(8.26240991350267)-π/2
    2×1.4503520832792-π/2
    2.90070416655841-1.57079632675     		φ = 1.32990784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42756087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.793213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32990784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.198106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8939 KachelY 5371 -1.42756087 1.32990784 -81.793213 76.198106
    Oben rechts KachelX + 1 8940 KachelY 5371 -1.42736912 1.32990784 -81.782226 76.198106
    Unten links KachelX 8939 KachelY + 1 5372 -1.42756087 1.32986209 -81.793213 76.195485
    Unten rechts KachelX + 1 8940 KachelY + 1 5372 -1.42736912 1.32986209 -81.782226 76.195485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32990784-1.32986209) × R
    4.57499999999555e-05 × 6371000     		dl = 291.473249999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32990784-1.32986209) × R
    4.57499999999555e-05 × 6371000     		dr = 291.473249999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42756087--1.42736912) × cos(1.32990784) × R
    0.000191749999999935 × 0.238565553455362 × 6371000     		do = 291.441043798944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42756087--1.42736912) × cos(1.32986209) × R
    0.000191749999999935 × 0.23860998223829 × 6371000     		du = 291.495319743999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32990784)-sin(1.32986209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238565553455362-0.23860998223829)×R²
    abs(-1.42736912--1.42756087)×4.44287829280132e-05×R²
    0.000191749999999935×4.44287829280132e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.44287829280132e-05×40589641000000     		ar = 84955.1782273267m²