Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8934 / 7830
↖ ↑ ↗
← N  7.928675°
E 16.303711°		 ← 2 419.86 m → N  7.928675°
E 16.325684°		 →
↑
2 419.96 m
↓
↑
2 419.96 m
↓
N  7.906912°
E 16.303711°		 ← 2 419.99 m →
5 856 118 m²		 N  7.906912°
E 16.325684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545318603515625 y=0.477935791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545318603515625 × 214)
    floor (0.545318603515625 × 16384)
    floor (8934.5)     		tx = 8934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477935791015625 × 214)
    floor (0.477935791015625 × 16384)
    floor (7830.5)     		ty = 7830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8934 / 7830 ti = "14/8934/7830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8934/7830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8934 ÷ 214
    8934 ÷ 16384     		x = 0.5452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7830 ÷ 214
    7830 ÷ 16384     		y = 0.4779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5452880859375 × 2 - 1) × π
    0.090576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.28455344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4779052734375 × 2 - 1) × π
    0.044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.138825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28455344} λ = 0.28455344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138825261299683))-π/2
    2×atan(1.1489233210943)-π/2
    2×0.854588903697338-π/2
    1.70917780739468-1.57079632675     		φ = 0.13838148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28455344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.303711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13838148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.928675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8934 KachelY 7830 0.28455344 0.13838148 16.303711 7.928675
    Oben rechts KachelX + 1 8935 KachelY 7830 0.28493693 0.13838148 16.325684 7.928675
    Unten links KachelX 8934 KachelY + 1 7831 0.28455344 0.13800164 16.303711 7.906912
    Unten rechts KachelX + 1 8935 KachelY + 1 7831 0.28493693 0.13800164 16.325684 7.906912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13838148-0.13800164) × R
    0.000379839999999992 × 6371000     		dl = 2419.96063999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13838148-0.13800164) × R
    0.000379839999999992 × 6371000     		dr = 2419.96063999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28455344-0.28493693) × cos(0.13838148) × R
    0.000383489999999986 × 0.990440552447854 × 6371000     		do = 2419.85900635628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28455344-0.28493693) × cos(0.13800164) × R
    0.000383489999999986 × 0.99049287622086 × 6371000     		du = 2419.98684457236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13838148)-sin(0.13800164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990440552447854-0.99049287622086)×R²
    abs(0.28493693-0.28455344)×5.23237730062354e-05×R²
    0.000383489999999986×5.23237730062354e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.23237730062354e-05×40589641000000     		ar = 5856118.30186637m²