Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8932 / 7871
↖ ↑ ↗
← N  7.035475°
E 16.259766°		 ← 2 424.82 m → N  7.035475°
E 16.281738°		 →
↑
2 424.87 m
↓
↑
2 424.87 m
↓
N  7.013668°
E 16.259766°		 ← 2 424.93 m →
5 879 999 m²		 N  7.013668°
E 16.281738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545196533203125 y=0.480438232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545196533203125 × 214)
    floor (0.545196533203125 × 16384)
    floor (8932.5)     		tx = 8932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480438232421875 × 214)
    floor (0.480438232421875 × 16384)
    floor (7871.5)     		ty = 7871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8932 / 7871 ti = "14/8932/7871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8932/7871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8932 ÷ 214
    8932 ÷ 16384     		x = 0.545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7871 ÷ 214
    7871 ÷ 16384     		y = 0.48040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.545166015625 × 2 - 1) × π
    0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48040771484375 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.123101958224304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28378645} λ = 0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.123101958224304))-π/2
    2×atan(1.13099972979319)-π/2
    2×0.846794270685129-π/2
    1.69358854137026-1.57079632675     		φ = 0.12279221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12279221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.035475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8932 KachelY 7871 0.28378645 0.12279221 16.259766 7.035475
    Oben rechts KachelX + 1 8933 KachelY 7871 0.28416994 0.12279221 16.281738 7.035475
    Unten links KachelX 8932 KachelY + 1 7872 0.28378645 0.12241160 16.259766 7.013668
    Unten rechts KachelX + 1 8933 KachelY + 1 7872 0.28416994 0.12241160 16.281738 7.013668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12279221-0.12241160) × R
    0.000380610000000003 × 6371000     		dl = 2424.86631000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12279221-0.12241160) × R
    0.000380610000000003 × 6371000     		dr = 2424.86631000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28378645-0.28416994) × cos(0.12279221) × R
    0.000383489999999986 × 0.992470504483574 × 6371000     		do = 2424.81861519294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28378645-0.28416994) × cos(0.12241160) × R
    0.000383489999999986 × 0.992517051180543 × 6371000     		du = 2424.9323387714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12279221)-sin(0.12241160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992470504483574-0.992517051180543)×R²
    abs(0.28416994-0.28378645)×4.65466969696848e-05×R²
    0.000383489999999986×4.65466969696848e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.65466969696848e-05×40589641000000     		ar = 5879998.92106267m²