Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8930 / 7881
↖ ↑ ↗
← N  6.817353°
E 16.215821°		 ← 2 425.94 m → N  6.817353°
E 16.237793°		 →
↑
2 426.01 m
↓
↑
2 426.01 m
↓
N  6.795535°
E 16.215821°		 ← 2 426.05 m →
5 885 497 m²		 N  6.795535°
E 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545074462890625 y=0.481048583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545074462890625 × 214)
    floor (0.545074462890625 × 16384)
    floor (8930.5)     		tx = 8930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481048583984375 × 214)
    floor (0.481048583984375 × 16384)
    floor (7881.5)     		ty = 7881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8930 / 7881 ti = "14/8930/7881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8930/7881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8930 ÷ 214
    8930 ÷ 16384     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7881 ÷ 214
    7881 ÷ 16384     		y = 0.48101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48101806640625 × 2 - 1) × π
    0.0379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.1192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.1192670062547))-π/2
    2×atan(1.12667070625599)-π/2
    2×0.844890789908199-π/2
    1.6897815798164-1.57079632675     		φ = 0.11898525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11898525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.817353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8930 KachelY 7881 0.28301946 0.11898525 16.215821 6.817353
    Oben rechts KachelX + 1 8931 KachelY 7881 0.28340295 0.11898525 16.237793 6.817353
    Unten links KachelX 8930 KachelY + 1 7882 0.28301946 0.11860446 16.215821 6.795535
    Unten rechts KachelX + 1 8931 KachelY + 1 7882 0.28340295 0.11860446 16.237793 6.795535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11898525-0.11860446) × R
    0.000380790000000006 × 6371000     		dl = 2426.01309000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11898525-0.11860446) × R
    0.000380790000000006 × 6371000     		dr = 2426.01309000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28340295) × cos(0.11898525) × R
    0.000383489999999986 × 0.992929602639164 × 6371000     		do = 2425.94029059674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28340295) × cos(0.11860446) × R
    0.000383489999999986 × 0.992974732210316 × 6371000     		du = 2426.05055183245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11898525)-sin(0.11860446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992929602639164-0.992974732210316)×R²
    abs(0.28340295-0.28301946)×4.51295711517696e-05×R²
    0.000383489999999986×4.51295711517696e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.51295711517696e-05×40589641000000     		ar = 5885496.71926377m²