Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8930 / 7826
↖ ↑ ↗
← N  8.015716°
E 16.215821°		 ← 2 419.34 m → N  8.015716°
E 16.237793°		 →
↑
2 419.45 m
↓
↑
2 419.45 m
↓
N  7.993958°
E 16.215821°		 ← 2 419.47 m →
5 853 641 m²		 N  7.993958°
E 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545074462890625 y=0.477691650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545074462890625 × 214)
    floor (0.545074462890625 × 16384)
    floor (8930.5)     		tx = 8930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477691650390625 × 214)
    floor (0.477691650390625 × 16384)
    floor (7826.5)     		ty = 7826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8930 / 7826 ti = "14/8930/7826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8930/7826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8930 ÷ 214
    8930 ÷ 16384     		x = 0.5450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7826 ÷ 214
    7826 ÷ 16384     		y = 0.4776611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5450439453125 × 2 - 1) × π
    0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    0.044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.140359242087524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28301946} λ = 0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.140359242087524))-π/2
    2×atan(1.15068709985106)-π/2
    2×0.855348481429261-π/2
    1.71069696285852-1.57079632675     		φ = 0.13990064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13990064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.015716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8930 KachelY 7826 0.28301946 0.13990064 16.215821 8.015716
    Oben rechts KachelX + 1 8931 KachelY 7826 0.28340295 0.13990064 16.237793 8.015716
    Unten links KachelX 8930 KachelY + 1 7827 0.28301946 0.13952088 16.215821 7.993958
    Unten rechts KachelX + 1 8931 KachelY + 1 7827 0.28340295 0.13952088 16.237793 7.993958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13990064-0.13952088) × R
    0.000379759999999979 × 6371000     		dl = 2419.45095999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13990064-0.13952088) × R
    0.000379759999999979 × 6371000     		dr = 2419.45095999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28301946-0.28340295) × cos(0.13990064) × R
    0.000383489999999986 × 0.990229856328576 × 6371000     		do = 2419.34423048147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28301946-0.28340295) × cos(0.13952088) × R
    0.000383489999999986 × 0.990282740452171 × 6371000     		du = 2419.47343775439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13990064)-sin(0.13952088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990229856328576-0.990282740452171)×R²
    abs(0.28340295-0.28301946)×5.28841235943878e-05×R²
    0.000383489999999986×5.28841235943878e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.28841235943878e-05×40589641000000     		ar = 5853641.09668846m²