Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 893 / 697
↖ ↑ ↗
← N 49.724479°
W 23.027344°		 ← 12.636 km → N 49.724479°
W 22.851562°		 →
↑
12.651 km
↓
↑
12.651 km
↓
N 49.610710°
W 23.027344°		 ← 12.665 km →
160.037 km²		 N 49.610710°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436279296875 y=0.340576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436279296875 × 211)
    floor (0.436279296875 × 2048)
    floor (893.5)     		tx = 893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340576171875 × 211)
    floor (0.340576171875 × 2048)
    floor (697.5)     		ty = 697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 893 / 697 ti = "11/893/697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/893/697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 893 ÷ 211
    893 ÷ 2048     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 697 ÷ 211
    697 ÷ 2048     		y = 0.34033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    0.3193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00322343524854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00322343524854))-π/2
    2×atan(2.72705817130756)-π/2
    2×1.2193261037294-π/2
    2.4386522074588-1.57079632675     		φ = 0.86785588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86785588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.724479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 893 KachelY 697 -0.40190297 0.86785588 -23.027344 49.724479
    Oben rechts KachelX + 1 894 KachelY 697 -0.39883500 0.86785588 -22.851562 49.724479
    Unten links KachelX 893 KachelY + 1 698 -0.40190297 0.86587023 -23.027344 49.610710
    Unten rechts KachelX + 1 894 KachelY + 1 698 -0.39883500 0.86587023 -22.851562 49.610710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86785588-0.86587023) × R
    0.00198565000000006 × 6371000     		dl = 12650.5761500004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86785588-0.86587023) × R
    0.00198565000000006 × 6371000     		dr = 12650.5761500004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.39883500) × cos(0.86785588) × R
    0.00306797000000003 × 0.646463876730745 × 6371000     		do = 12635.8067697024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.39883500) × cos(0.86587023) × R
    0.00306797000000003 × 0.647977542231262 × 6371000     		du = 12665.3929313843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86785588)-sin(0.86587023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646463876730745-0.647977542231262)×R²
    abs(-0.39883500--0.40190297)×0.00151366550051679×R²
    0.00306797000000003×0.00151366550051679×6371000²
    0.00306797000000003×0.00151366550051679×40589641000000     		ar = 160037429.335533m²