Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 893 / 277
↖ ↑ ↗
← N 78.455425°
W 23.027344°		 ← 3 911.75 m → N 78.455425°
W 22.851562°		 →
↑
3 917.66 m
↓
↑
3 917.66 m
↓
N 78.420193°
W 23.027344°		 ← 3 923.53 m →
15 347 966 m²		 N 78.420193°
W 22.851562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436279296875 y=0.135498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436279296875 × 211)
    floor (0.436279296875 × 2048)
    floor (893.5)     		tx = 893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135498046875 × 211)
    floor (0.135498046875 × 2048)
    floor (277.5)     		ty = 277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 893 / 277 ti = "11/893/277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/893/277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 893 ÷ 211
    893 ÷ 2048     		x = 0.43603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 277 ÷ 211
    277 ÷ 2048     		y = 0.13525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40190297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13525390625 × 2 - 1) × π
    0.7294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29176729703564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40190297} λ = -0.40190297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29176729703564))-π/2
    2×atan(9.8924050597411)-π/2
    2×1.47005090751903-π/2
    2.94010181503807-1.57079632675     		φ = 1.36930549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40190297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.027344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36930549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.455425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 893 KachelY 277 -0.40190297 1.36930549 -23.027344 78.455425
    Oben rechts KachelX + 1 894 KachelY 277 -0.39883500 1.36930549 -22.851562 78.455425
    Unten links KachelX 893 KachelY + 1 278 -0.40190297 1.36869057 -23.027344 78.420193
    Unten rechts KachelX + 1 894 KachelY + 1 278 -0.39883500 1.36869057 -22.851562 78.420193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36930549-1.36869057) × R
    0.000614919999999852 × 6371000     		dl = 3917.65531999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36930549-1.36869057) × R
    0.000614919999999852 × 6371000     		dr = 3917.65531999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40190297--0.39883500) × cos(1.36930549) × R
    0.00306797000000003 × 0.200130228788885 × 6371000     		do = 3911.75283070911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40190297--0.39883500) × cos(1.36869057) × R
    0.00306797000000003 × 0.200732670654823 × 6371000     		du = 3923.52818163279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36930549)-sin(1.36869057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200130228788885-0.200732670654823)×R²
    abs(-0.39883500--0.40190297)×0.000602441865938969×R²
    0.00306797000000003×0.000602441865938969×6371000²
    0.00306797000000003×0.000602441865938969×40589641000000     		ar = 15347965.6544751m²