Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 893 / 1150
↖ ↑ ↗
← N 78.080156°
W140.756836°		 ← 1 009.27 m → N 78.080156°
W140.712891°		 →
↑
1 009.61 m
↓
↑
1 009.61 m
↓
N 78.071076°
W140.756836°		 ← 1 010.03 m →
1 019 355 m²		 N 78.071076°
W140.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10906982421875 y=0.14044189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10906982421875 × 213)
    floor (0.10906982421875 × 8192)
    floor (893.5)     		tx = 893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14044189453125 × 213)
    floor (0.14044189453125 × 8192)
    floor (1150.5)     		ty = 1150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 893 / 1150 ti = "13/893/1150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/893/1150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 893 ÷ 213
    893 ÷ 8192     		x = 0.1090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1150 ÷ 213
    1150 ÷ 8192     		y = 0.140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.781982421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45667023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140380859375 × 2 - 1) × π
    0.71923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25955370049097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45667023} λ = -2.45667023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25955370049097))-π/2
    2×atan(9.5788131930277)-π/2
    2×1.46677606486602-π/2
    2.93355212973203-1.57079632675     		φ = 1.36275580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45667023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36275580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.080156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 893 KachelY 1150 -2.45667023 1.36275580 -140.756836 78.080156
    Oben rechts KachelX + 1 894 KachelY 1150 -2.45590324 1.36275580 -140.712891 78.080156
    Unten links KachelX 893 KachelY + 1 1151 -2.45667023 1.36259733 -140.756836 78.071076
    Unten rechts KachelX + 1 894 KachelY + 1 1151 -2.45590324 1.36259733 -140.712891 78.071076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36275580-1.36259733) × R
    0.000158469999999911 × 6371000     		dl = 1009.61236999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36275580-1.36259733) × R
    0.000158469999999911 × 6371000     		dr = 1009.61236999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45667023--2.45590324) × cos(1.36275580) × R
    0.000766989999999801 × 0.206543075506861 × 6371000     		do = 1009.27135255998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45667023--2.45590324) × cos(1.36259733) × R
    0.000766989999999801 × 0.206698125904746 × 6371000     		du = 1010.02900528885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36275580)-sin(1.36259733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206543075506861-0.206698125904746)×R²
    abs(-2.45590324--2.45667023)×0.000155050397885131×R²
    0.000766989999999801×0.000155050397885131×6371000²
    0.000766989999999801×0.000155050397885131×40589641000000     		ar = 1019355.31214745m²