Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8929 / 7875
↖ ↑ ↗
← N  6.948239°
E 16.193848°		 ← 2 425.33 m → N  6.948239°
E 16.215821°		 →
↑
2 425.38 m
↓
↑
2 425.38 m
↓
N  6.926427°
E 16.193848°		 ← 2 425.45 m →
5 882 485 m²		 N  6.926427°
E 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545013427734375 y=0.480682373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545013427734375 × 214)
    floor (0.545013427734375 × 16384)
    floor (8929.5)     		tx = 8929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480682373046875 × 214)
    floor (0.480682373046875 × 16384)
    floor (7875.5)     		ty = 7875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8929 / 7875 ti = "14/8929/7875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8929/7875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8929 ÷ 214
    8929 ÷ 16384     		x = 0.54498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7875 ÷ 214
    7875 ÷ 16384     		y = 0.48065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54498291015625 × 2 - 1) × π
    0.0899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28263596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48065185546875 × 2 - 1) × π
    0.0386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.121567977436462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28263596} λ = 0.28263596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.121567977436462))-π/2
    2×atan(1.12926612793255)-π/2
    2×0.846032984120438-π/2
    1.69206596824088-1.57079632675     		φ = 0.12126964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28263596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12126964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.948239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8929 KachelY 7875 0.28263596 0.12126964 16.193848 6.948239
    Oben rechts KachelX + 1 8930 KachelY 7875 0.28301946 0.12126964 16.215821 6.948239
    Unten links KachelX 8929 KachelY + 1 7876 0.28263596 0.12088895 16.193848 6.926427
    Unten rechts KachelX + 1 8930 KachelY + 1 7876 0.28301946 0.12088895 16.215821 6.926427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12126964-0.12088895) × R
    0.000380690000000003 × 6371000     		dl = 2425.37599000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12126964-0.12088895) × R
    0.000380690000000003 × 6371000     		dr = 2425.37599000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28263596-0.28301946) × cos(0.12126964) × R
    0.000383499999999981 × 0.99265584429127 × 6371000     		do = 2425.33468225609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28263596-0.28301946) × cos(0.12088895) × R
    0.000383499999999981 × 0.992701825426611 × 6371000     		du = 2425.44702697547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12126964)-sin(0.12088895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99265584429127-0.992701825426611)×R²
    abs(0.28301946-0.28263596)×4.59811353410444e-05×R²
    0.000383499999999981×4.59811353410444e-05×6371000²
    0.000383499999999981×4.59811353410444e-05×40589641000000     		ar = 5882484.81619387m²