Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8929 / 7827
↖ ↑ ↗
← N  7.993958°
E 16.193848°		 ← 2 419.54 m → N  7.993958°
E 16.215821°		 →
↑
2 419.58 m
↓
↑
2 419.58 m
↓
N  7.972198°
E 16.193848°		 ← 2 419.67 m →
5 854 414 m²		 N  7.972198°
E 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.545013427734375 y=0.477752685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.545013427734375 × 214)
    floor (0.545013427734375 × 16384)
    floor (8929.5)     		tx = 8929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477752685546875 × 214)
    floor (0.477752685546875 × 16384)
    floor (7827.5)     		ty = 7827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8929 / 7827 ti = "14/8929/7827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8929/7827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8929 ÷ 214
    8929 ÷ 16384     		x = 0.54498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7827 ÷ 214
    7827 ÷ 16384     		y = 0.47772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54498291015625 × 2 - 1) × π
    0.0899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.28263596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47772216796875 × 2 - 1) × π
    0.0445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.139975746890564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28263596} λ = 0.28263596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.139975746890564))-π/2
    2×atan(1.1502459014792)-π/2
    2×0.855158602159842-π/2
    1.71031720431968-1.57079632675     		φ = 0.13952088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28263596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13952088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.993958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8929 KachelY 7827 0.28263596 0.13952088 16.193848 7.993958
    Oben rechts KachelX + 1 8930 KachelY 7827 0.28301946 0.13952088 16.215821 7.993958
    Unten links KachelX 8929 KachelY + 1 7828 0.28263596 0.13914110 16.193848 7.972198
    Unten rechts KachelX + 1 8930 KachelY + 1 7828 0.28301946 0.13914110 16.215821 7.972198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13952088-0.13914110) × R
    0.000379780000000024 × 6371000     		dl = 2419.57838000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13952088-0.13914110) × R
    0.000379780000000024 × 6371000     		dr = 2419.57838000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28263596-0.28301946) × cos(0.13952088) × R
    0.000383499999999981 × 0.990282740452171 × 6371000     		do = 2419.53652866775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28263596-0.28301946) × cos(0.13914110) × R
    0.000383499999999981 × 0.990335484533361 × 6371000     		du = 2419.66539714732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13952088)-sin(0.13914110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990282740452171-0.990335484533361)×R²
    abs(0.28301946-0.28263596)×5.27440811904922e-05×R²
    0.000383499999999981×5.27440811904922e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.27440811904922e-05×40589641000000     		ar = 5854414.24844519m²