Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8925 / 7835
↖ ↑ ↗
← N  7.819847°
E 16.105957°		 ← 2 420.49 m → N  7.819847°
E 16.127929°		 →
↑
2 420.53 m
↓
↑
2 420.53 m
↓
N  7.798079°
E 16.105957°		 ← 2 420.62 m →
5 859 043 m²		 N  7.798079°
E 16.127929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544769287109375 y=0.478240966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544769287109375 × 214)
    floor (0.544769287109375 × 16384)
    floor (8925.5)     		tx = 8925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478240966796875 × 214)
    floor (0.478240966796875 × 16384)
    floor (7835.5)     		ty = 7835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8925 / 7835 ti = "14/8925/7835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8925/7835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8925 ÷ 214
    8925 ÷ 16384     		x = 0.54473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7835 ÷ 214
    7835 ÷ 16384     		y = 0.47821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54473876953125 × 2 - 1) × π
    0.0894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.28110198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47821044921875 × 2 - 1) × π
    0.0435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.13690778531488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.28110198} λ = 0.28110198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.13690778531488))-π/2
    2×atan(1.1467223989997)-π/2
    2×0.853639205690842-π/2
    1.70727841138168-1.57079632675     		φ = 0.13648208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.28110198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.105957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13648208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.819847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8925 KachelY 7835 0.28110198 0.13648208 16.105957 7.819847
    Oben rechts KachelX + 1 8926 KachelY 7835 0.28148547 0.13648208 16.127929 7.819847
    Unten links KachelX 8925 KachelY + 1 7836 0.28110198 0.13610215 16.105957 7.798079
    Unten rechts KachelX + 1 8926 KachelY + 1 7836 0.28148547 0.13610215 16.127929 7.798079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13648208-0.13610215) × R
    0.000379930000000001 × 6371000     		dl = 2420.53403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13648208-0.13610215) × R
    0.000379930000000001 × 6371000     		dr = 2420.53403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.28110198-0.28148547) × cos(0.13648208) × R
    0.000383490000000042 × 0.990700769381963 × 6371000     		do = 2420.49477221866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.28110198-0.28148547) × cos(0.13610215) × R
    0.000383490000000042 × 0.990752390682287 × 6371000     		du = 2420.62089414309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13648208)-sin(0.13610215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990700769381963-0.990752390682287)×R²
    abs(0.28148547-0.28110198)×5.16213003236565e-05×R²
    0.000383490000000042×5.16213003236565e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.16213003236565e-05×40589641000000     		ar = 5859042.67727541m²