Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8922 / 7858
↖ ↑ ↗
← N  7.318882°
E 16.040039°		 ← 2 423.37 m → N  7.318882°
E 16.062012°		 →
↑
2 423.40 m
↓
↑
2 423.40 m
↓
N  7.297087°
E 16.040039°		 ← 2 423.49 m →
5 872 945 m²		 N  7.297087°
E 16.062012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544586181640625 y=0.479644775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544586181640625 × 214)
    floor (0.544586181640625 × 16384)
    floor (8922.5)     		tx = 8922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479644775390625 × 214)
    floor (0.479644775390625 × 16384)
    floor (7858.5)     		ty = 7858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8922 / 7858 ti = "14/8922/7858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8922/7858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8922 ÷ 214
    8922 ÷ 16384     		x = 0.5445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7858 ÷ 214
    7858 ÷ 16384     		y = 0.4796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5445556640625 × 2 - 1) × π
    0.089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27995149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    0.040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.12808739578479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27995149} λ = 0.27995149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.12808739578479))-π/2
    2×atan(1.13665233697932)-π/2
    2×0.849267455275113-π/2
    1.69853491055023-1.57079632675     		φ = 0.12773858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27995149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12773858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.318882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8922 KachelY 7858 0.27995149 0.12773858 16.040039 7.318882
    Oben rechts KachelX + 1 8923 KachelY 7858 0.28033499 0.12773858 16.062012 7.318882
    Unten links KachelX 8922 KachelY + 1 7859 0.27995149 0.12735820 16.040039 7.297087
    Unten rechts KachelX + 1 8923 KachelY + 1 7859 0.28033499 0.12735820 16.062012 7.297087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12773858-0.12735820) × R
    0.000380379999999986 × 6371000     		dl = 2423.40097999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12773858-0.12735820) × R
    0.000380379999999986 × 6371000     		dr = 2423.40097999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27995149-0.28033499) × cos(0.12773858) × R
    0.000383499999999981 × 0.991852515274919 × 6371000     		do = 2423.37192574201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27995149-0.28033499) × cos(0.12735820) × R
    0.000383499999999981 × 0.991900900688025 × 6371000     		du = 2423.49014478157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12773858)-sin(0.12735820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991852515274919-0.991900900688025)×R²
    abs(0.28033499-0.27995149)×4.83854131060335e-05×R²
    0.000383499999999981×4.83854131060335e-05×6371000²
    0.000383499999999981×4.83854131060335e-05×40589641000000     		ar = 5872945.21662818m²