Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8921 / 7814
↖ ↑ ↗
← N  8.276727°
E 16.018066°		 ← 2 417.77 m → N  8.276727°
E 16.040039°		 →
↑
2 417.86 m
↓
↑
2 417.86 m
↓
N  8.254983°
E 16.018066°		 ← 2 417.90 m →
5 845 979 m²		 N  8.254983°
E 16.040039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544525146484375 y=0.476959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544525146484375 × 214)
    floor (0.544525146484375 × 16384)
    floor (8921.5)     		tx = 8921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476959228515625 × 214)
    floor (0.476959228515625 × 16384)
    floor (7814.5)     		ty = 7814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8921 / 7814 ti = "14/8921/7814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8921/7814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8921 ÷ 214
    8921 ÷ 16384     		x = 0.54449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7814 ÷ 214
    7814 ÷ 16384     		y = 0.4769287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54449462890625 × 2 - 1) × π
    0.0889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27956800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    0.046142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.14496118445105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27956800} λ = 0.27956800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.14496118445105))-π/2
    2×atan(1.15599469882835)-π/2
    2×0.857626232997577-π/2
    1.71525246599515-1.57079632675     		φ = 0.14445614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27956800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.018066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14445614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.276727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8921 KachelY 7814 0.27956800 0.14445614 16.018066 8.276727
    Oben rechts KachelX + 1 8922 KachelY 7814 0.27995149 0.14445614 16.040039 8.276727
    Unten links KachelX 8921 KachelY + 1 7815 0.27956800 0.14407663 16.018066 8.254983
    Unten rechts KachelX + 1 8922 KachelY + 1 7815 0.27995149 0.14407663 16.040039 8.254983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14445614-0.14407663) × R
    0.00037951 × 6371000     		dl = 2417.85821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14445614-0.14407663) × R
    0.00037951 × 6371000     		dr = 2417.85821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27956800-0.27995149) × cos(0.14445614) × R
    0.000383490000000042 × 0.989584343181488 × 6371000     		do = 2417.76710321371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27956800-0.27995149) × cos(0.14407663) × R
    0.000383490000000042 × 0.989638903995905 × 6371000     		du = 2417.90040700245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14445614)-sin(0.14407663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989584343181488-0.989638903995905)×R²
    abs(0.27995149-0.27956800)×5.45608144169041e-05×R²
    0.000383490000000042×5.45608144169041e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.45608144169041e-05×40589641000000     		ar = 5845979.26536866m²