Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8920 / 7799
↖ ↑ ↗
← N  8.602747°
E 15.996094°		 ← 2 415.79 m → N  8.602747°
E 16.018066°		 →
↑
2 415.82 m
↓
↑
2 415.82 m
↓
N  8.581021°
E 15.996094°		 ← 2 415.93 m →
5 836 279 m²		 N  8.581021°
E 16.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544464111328125 y=0.476043701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544464111328125 × 214)
    floor (0.544464111328125 × 16384)
    floor (8920.5)     		tx = 8920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476043701171875 × 214)
    floor (0.476043701171875 × 16384)
    floor (7799.5)     		ty = 7799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8920 / 7799 ti = "14/8920/7799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8920/7799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8920 ÷ 214
    8920 ÷ 16384     		x = 0.54443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7799 ÷ 214
    7799 ÷ 16384     		y = 0.47601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54443359375 × 2 - 1) × π
    0.0888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27918450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47601318359375 × 2 - 1) × π
    0.0479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.150713612405457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27918450} λ = 0.27918450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.150713612405457))-π/2
    2×atan(1.16266363795514)-π/2
    2×0.860471295813438-π/2
    1.72094259162688-1.57079632675     		φ = 0.15014626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27918450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.15014626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.602747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8920 KachelY 7799 0.27918450 0.15014626 15.996094 8.602747
    Oben rechts KachelX + 1 8921 KachelY 7799 0.27956800 0.15014626 16.018066 8.602747
    Unten links KachelX 8920 KachelY + 1 7800 0.27918450 0.14976707 15.996094 8.581021
    Unten rechts KachelX + 1 8921 KachelY + 1 7800 0.27956800 0.14976707 16.018066 8.581021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.15014626-0.14976707) × R
    0.000379190000000001 × 6371000     		dl = 2415.81949000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.15014626-0.14976707) × R
    0.000379190000000001 × 6371000     		dr = 2415.81949000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27918450-0.27956800) × cos(0.15014626) × R
    0.000383499999999981 × 0.988749210538975 × 6371000     		do = 2415.78968800173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27918450-0.27956800) × cos(0.14976707) × R
    0.000383499999999981 × 0.988805859736353 × 6371000     		du = 2415.92809776773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.15014626)-sin(0.14976707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988749210538975-0.988805859736353)×R²
    abs(0.27956800-0.27918450)×5.66491973772454e-05×R²
    0.000383499999999981×5.66491973772454e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.66491973772454e-05×40589641000000     		ar = 5836279.06845167m²