Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8920 / 4807
↖ ↑ ↗
← N 77.601207°
W 82.001953°		 ← 262.30 m → N 77.601207°
W 81.990967°		 →
↑
262.29 m
↓
↑
262.29 m
↓
N 77.598848°
W 82.001953°		 ← 262.35 m →
68 807 m²		 N 77.598848°
W 81.990967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272232055664062 y=0.146713256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272232055664062 × 215)
    floor (0.272232055664062 × 32768)
    floor (8920.5)     		tx = 8920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146713256835938 × 215)
    floor (0.146713256835938 × 32768)
    floor (4807.5)     		ty = 4807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8920 / 4807 ti = "15/8920/4807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8920/4807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8920 ÷ 215
    8920 ÷ 32768     		x = 0.272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4807 ÷ 215
    4807 ÷ 32768     		y = 0.146697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.45556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43120408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146697998046875 × 2 - 1) × π
    0.70660400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21986194760556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43120408} λ = -1.43120408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21986194760556))-π/2
    2×atan(9.20605985954457)-π/2
    2×1.46259644958692-π/2
    2.92519289917384-1.57079632675     		φ = 1.35439657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43120408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.001953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35439657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.601207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8920 KachelY 4807 -1.43120408 1.35439657 -82.001953 77.601207
    Oben rechts KachelX + 1 8921 KachelY 4807 -1.43101233 1.35439657 -81.990967 77.601207
    Unten links KachelX 8920 KachelY + 1 4808 -1.43120408 1.35435540 -82.001953 77.598848
    Unten rechts KachelX + 1 8921 KachelY + 1 4808 -1.43101233 1.35435540 -81.990967 77.598848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35439657-1.35435540) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dl = 262.294070000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35439657-1.35435540) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dr = 262.294070000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43120408--1.43101233) × cos(1.35439657) × R
    0.000191750000000157 × 0.214714748192646 × 6371000     		do = 262.303963946218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43120408--1.43101233) × cos(1.35435540) × R
    0.000191750000000157 × 0.214754957794634 × 6371000     		du = 262.353085574233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35439657)-sin(1.35435540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214714748192646-0.214754957794634)×R²
    abs(-1.43101233--1.43120408)×4.02096019879172e-05×R²
    0.000191750000000157×4.02096019879172e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.02096019879172e-05×40589641000000     		ar = 68807.2164457571m²