Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8918 / 26135
↖ ↑ ↗
← S 72.471968°
W 82.023926°		 ← 367.92 m → S 72.471968°
W 82.012939°		 →
↑
367.93 m
↓
↑
367.93 m
↓
S 72.475276°
W 82.023926°		 ← 367.86 m →
135 356 m²		 S 72.475276°
W 82.012939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272171020507812 y=0.797592163085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272171020507812 × 215)
    floor (0.272171020507812 × 32768)
    floor (8918.5)     		tx = 8918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797592163085938 × 215)
    floor (0.797592163085938 × 32768)
    floor (26135.5)     		ty = 26135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8918 / 26135 ti = "15/8918/26135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8918/26135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8918 ÷ 215
    8918 ÷ 32768     		x = 0.27215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26135 ÷ 215
    26135 ÷ 32768     		y = 0.797576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.4556884765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43158757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.59515380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86973083278067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43158757} λ = -1.43158757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86973083278067))-π/2
    2×atan(0.154165152436322)-π/2
    2×0.152960936346298-π/2
    0.305921872692595-1.57079632675     		φ = -1.26487445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43158757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.023926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26487445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.471968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8918 KachelY 26135 -1.43158757 -1.26487445 -82.023926 -72.471968
    Oben rechts KachelX + 1 8919 KachelY 26135 -1.43139582 -1.26487445 -82.012939 -72.471968
    Unten links KachelX 8918 KachelY + 1 26136 -1.43158757 -1.26493220 -82.023926 -72.475276
    Unten rechts KachelX + 1 8919 KachelY + 1 26136 -1.43139582 -1.26493220 -82.012939 -72.475276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26487445--1.26493220) × R
    5.77500000000786e-05 × 6371000     		dl = 367.925250000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26487445--1.26493220) × R
    5.77500000000786e-05 × 6371000     		dr = 367.925250000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43158757--1.43139582) × cos(-1.26487445) × R
    0.000191749999999935 × 0.301172376853073 × 6371000     		do = 367.92399657938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43158757--1.43139582) × cos(-1.26493220) × R
    0.000191749999999935 × 0.301117307699907 × 6371000     		du = 367.856721940408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26487445)-sin(-1.26493220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301172376853073-0.301117307699907)×R²
    abs(-1.43139582--1.43158757)×5.50691531662206e-05×R²
    0.000191749999999935×5.50691531662206e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.50691531662206e-05×40589641000000     		ar = 135356.152440668m²