Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8916 / 26141
↖ ↑ ↗
← S 72.491810°
W 82.045899°		 ← 367.52 m → S 72.491810°
W 82.034912°		 →
↑
367.48 m
↓
↑
367.48 m
↓
S 72.495115°
W 82.045899°		 ← 367.45 m →
135 044 m²		 S 72.495115°
W 82.034912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272109985351562 y=0.797775268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272109985351562 × 215)
    floor (0.272109985351562 × 32768)
    floor (8916.5)     		tx = 8916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797775268554688 × 215)
    floor (0.797775268554688 × 32768)
    floor (26141.5)     		ty = 26141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8916 / 26141 ti = "15/8916/26141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8916/26141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8916 ÷ 215
    8916 ÷ 32768     		x = 0.2720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26141 ÷ 215
    26141 ÷ 32768     		y = 0.797760009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43197107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797760009765625 × 2 - 1) × π
    -0.59552001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87088131837155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43197107} λ = -1.43197107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87088131837155))-π/2
    2×atan(0.153987889638528)-π/2
    2×0.152787784109316-π/2
    0.305575568218632-1.57079632675     		φ = -1.26522076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43197107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.045899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26522076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.491810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8916 KachelY 26141 -1.43197107 -1.26522076 -82.045899 -72.491810
    Oben rechts KachelX + 1 8917 KachelY 26141 -1.43177932 -1.26522076 -82.034912 -72.491810
    Unten links KachelX 8916 KachelY + 1 26142 -1.43197107 -1.26527844 -82.045899 -72.495115
    Unten rechts KachelX + 1 8917 KachelY + 1 26142 -1.43177932 -1.26527844 -82.034912 -72.495115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26522076--1.26527844) × R
    5.76799999998379e-05 × 6371000     		dl = 367.479279998967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26522076--1.26527844) × R
    5.76799999998379e-05 × 6371000     		dr = 367.479279998967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43197107--1.43177932) × cos(-1.26522076) × R
    0.000191749999999935 × 0.300842128072131 × 6371000     		do = 367.520551706317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43197107--1.43177932) × cos(-1.26527844) × R
    0.000191749999999935 × 0.300787119657942 × 6371000     		du = 367.453351268465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26522076)-sin(-1.26527844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300842128072131-0.300787119657942)×R²
    abs(-1.43177932--1.43197107)×5.50084141883178e-05×R²
    0.000191749999999935×5.50084141883178e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.50084141883178e-05×40589641000000     		ar = 135043.840379249m²