Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8916 / 26134
↖ ↑ ↗
← S 72.468659°
W 82.045899°		 ← 367.99 m → S 72.468659°
W 82.034912°		 →
↑
367.93 m
↓
↑
367.93 m
↓
S 72.471968°
W 82.045899°		 ← 367.92 m →
135 381 m²		 S 72.471968°
W 82.034912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272109985351562 y=0.797561645507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272109985351562 × 215)
    floor (0.272109985351562 × 32768)
    floor (8916.5)     		tx = 8916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797561645507812 × 215)
    floor (0.797561645507812 × 32768)
    floor (26134.5)     		ty = 26134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8916 / 26134 ti = "15/8916/26134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8916/26134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8916 ÷ 215
    8916 ÷ 32768     		x = 0.2720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26134 ÷ 215
    26134 ÷ 32768     		y = 0.79754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43197107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.5950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86953908518219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43197107} λ = -1.43197107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86953908518219))-π/2
    2×atan(0.154194716068358)-π/2
    2×0.152989813525841-π/2
    0.305979627051682-1.57079632675     		φ = -1.26481670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43197107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.045899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26481670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.468659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8916 KachelY 26134 -1.43197107 -1.26481670 -82.045899 -72.468659
    Oben rechts KachelX + 1 8917 KachelY 26134 -1.43177932 -1.26481670 -82.034912 -72.468659
    Unten links KachelX 8916 KachelY + 1 26135 -1.43197107 -1.26487445 -82.045899 -72.471968
    Unten rechts KachelX + 1 8917 KachelY + 1 26135 -1.43177932 -1.26487445 -82.034912 -72.471968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26481670--1.26487445) × R
    5.77500000000786e-05 × 6371000     		dl = 367.925250000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26481670--1.26487445) × R
    5.77500000000786e-05 × 6371000     		dr = 367.925250000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43197107--1.43177932) × cos(-1.26481670) × R
    0.000191749999999935 × 0.30122744500181 × 6371000     		do = 367.991269991303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43197107--1.43177932) × cos(-1.26487445) × R
    0.000191749999999935 × 0.301172376853073 × 6371000     		du = 367.92399657938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26481670)-sin(-1.26487445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30122744500181-0.301172376853073)×R²
    abs(-1.43177932--1.43197107)×5.50681487374582e-05×R²
    0.000191749999999935×5.50681487374582e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.50681487374582e-05×40589641000000     		ar = 135380.904253725m²