Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8915 / 7883
↖ ↑ ↗
← N  6.773716°
E 15.886231°		 ← 2 426.16 m → N  6.773716°
E 15.908203°		 →
↑
2 426.27 m
↓
↑
2 426.27 m
↓
N  6.751896°
E 15.886231°		 ← 2 426.27 m →
5 886 648 m²		 N  6.751896°
E 15.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544158935546875 y=0.481170654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544158935546875 × 214)
    floor (0.544158935546875 × 16384)
    floor (8915.5)     		tx = 8915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.481170654296875 × 214)
    floor (0.481170654296875 × 16384)
    floor (7883.5)     		ty = 7883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8915 / 7883 ti = "14/8915/7883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8915/7883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8915 ÷ 214
    8915 ÷ 16384     		x = 0.54412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7883 ÷ 214
    7883 ÷ 16384     		y = 0.48114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54412841796875 × 2 - 1) × π
    0.0882568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27726703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48114013671875 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.118500015860779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27726703} λ = 0.27726703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.118500015860779))-π/2
    2×atan(1.12580689195816)-π/2
    2×0.844509988876794-π/2
    1.68901997775359-1.57079632675     		φ = 0.11822365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27726703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.886231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11822365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.773716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8915 KachelY 7883 0.27726703 0.11822365 15.886231 6.773716
    Oben rechts KachelX + 1 8916 KachelY 7883 0.27765052 0.11822365 15.908203 6.773716
    Unten links KachelX 8915 KachelY + 1 7884 0.27726703 0.11784282 15.886231 6.751896
    Unten rechts KachelX + 1 8916 KachelY + 1 7884 0.27765052 0.11784282 15.908203 6.751896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11822365-0.11784282) × R
    0.000380829999999999 × 6371000     		dl = 2426.26792999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11822365-0.11784282) × R
    0.000380829999999999 × 6371000     		dr = 2426.26792999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27726703-0.27765052) × cos(0.11822365) × R
    0.000383489999999986 × 0.993019720158085 × 6371000     		do = 2426.16046705181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27726703-0.27765052) × cos(0.11784282) × R
    0.000383489999999986 × 0.99306456645326 × 6371000     		du = 2426.27003618346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11822365)-sin(0.11784282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993019720158085-0.99306456645326)×R²
    abs(0.27765052-0.27726703)×4.48462951746498e-05×R²
    0.000383489999999986×4.48462951746498e-05×6371000²
    0.000383489999999986×4.48462951746498e-05×40589641000000     		ar = 5886648.32742246m²