Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8914 / 7868
↖ ↑ ↗
← N  7.100893°
E 15.864258°		 ← 2 424.54 m → N  7.100893°
E 15.886231°		 →
↑
2 424.61 m
↓
↑
2 424.61 m
↓
N  7.079088°
E 15.864258°		 ← 2 424.65 m →
5 878 703 m²		 N  7.079088°
E 15.886231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544097900390625 y=0.480255126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544097900390625 × 214)
    floor (0.544097900390625 × 16384)
    floor (8914.5)     		tx = 8914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.480255126953125 × 214)
    floor (0.480255126953125 × 16384)
    floor (7868.5)     		ty = 7868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8914 / 7868 ti = "14/8914/7868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8914/7868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8914 ÷ 214
    8914 ÷ 16384     		x = 0.5440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7868 ÷ 214
    7868 ÷ 16384     		y = 0.480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5440673828125 × 2 - 1) × π
    0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.480224609375 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.124252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27688353} λ = 0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.124252443815186))-π/2
    2×atan(1.13230167747802)-π/2
    2×0.847365141844791-π/2
    1.69473028368958-1.57079632675     		φ = 0.12393396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12393396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.100893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8914 KachelY 7868 0.27688353 0.12393396 15.864258 7.100893
    Oben rechts KachelX + 1 8915 KachelY 7868 0.27726703 0.12393396 15.886231 7.100893
    Unten links KachelX 8914 KachelY + 1 7869 0.27688353 0.12355339 15.864258 7.079088
    Unten rechts KachelX + 1 8915 KachelY + 1 7869 0.27726703 0.12355339 15.886231 7.079088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12393396-0.12355339) × R
    0.000380569999999997 × 6371000     		dl = 2424.61146999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12393396-0.12355339) × R
    0.000380569999999997 × 6371000     		dr = 2424.61146999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27688353-0.27726703) × cos(0.12393396) × R
    0.000383500000000037 × 0.992330011669792 × 6371000     		do = 2424.53858241778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27688353-0.27726703) × cos(0.12355339) × R
    0.000383500000000037 × 0.992376984706317 × 6371000     		du = 2424.653350628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12393396)-sin(0.12355339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992330011669792-0.992376984706317)×R²
    abs(0.27726703-0.27688353)×4.69730365243448e-05×R²
    0.000383500000000037×4.69730365243448e-05×6371000²
    0.000383500000000037×4.69730365243448e-05×40589641000000     		ar = 5878703.26149998m²