Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8914 / 25937
↖ ↑ ↗
← S 71.804841°
W 82.067871°		 ← 381.46 m → S 71.804841°
W 82.056885°		 →
↑
381.43 m
↓
↑
381.43 m
↓
S 71.808272°
W 82.067871°		 ← 381.39 m →
145 489 m²		 S 71.808272°
W 82.056885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272048950195312 y=0.791549682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272048950195312 × 215)
    floor (0.272048950195312 × 32768)
    floor (8914.5)     		tx = 8914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791549682617188 × 215)
    floor (0.791549682617188 × 32768)
    floor (25937.5)     		ty = 25937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8914 / 25937 ti = "15/8914/25937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8914/25937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8914 ÷ 215
    8914 ÷ 32768     		x = 0.27203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25937 ÷ 215
    25937 ÷ 32768     		y = 0.791534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.4559326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43235456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.58306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.83176480828159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43235456} λ = -1.43235456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83176480828159))-π/2
    2×atan(0.160130718243295)-π/2
    2×0.158782714972012-π/2
    0.317565429944024-1.57079632675     		φ = -1.25323090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43235456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.067871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25323090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.804841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8914 KachelY 25937 -1.43235456 -1.25323090 -82.067871 -71.804841
    Oben rechts KachelX + 1 8915 KachelY 25937 -1.43216281 -1.25323090 -82.056885 -71.804841
    Unten links KachelX 8914 KachelY + 1 25938 -1.43235456 -1.25329077 -82.067871 -71.808272
    Unten rechts KachelX + 1 8915 KachelY + 1 25938 -1.43216281 -1.25329077 -82.056885 -71.808272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25323090--1.25329077) × R
    5.98700000000729e-05 × 6371000     		dl = 381.431770000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25323090--1.25329077) × R
    5.98700000000729e-05 × 6371000     		dr = 381.431770000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43235456--1.43216281) × cos(-1.25323090) × R
    0.000191750000000157 × 0.312254647544227 × 6371000     		do = 381.462533435257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43235456--1.43216281) × cos(-1.25329077) × R
    0.000191750000000157 × 0.312197770578062 × 6371000     		du = 381.393050300968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25323090)-sin(-1.25329077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312254647544227-0.312197770578062)×R²
    abs(-1.43216281--1.43235456)×5.68769661654644e-05×R²
    0.000191750000000157×5.68769661654644e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.68769661654644e-05×40589641000000     		ar = 145488.67782275m²