Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8914 / 11978
↖ ↑ ↗
← S 63.646259°
E 15.864258°		 ← 1 084.60 m → S 63.646259°
E 15.886231°		 →
↑
1 084.41 m
↓
↑
1 084.41 m
↓
S 63.656012°
E 15.864258°		 ← 1 084.23 m →
1 175 947 m²		 S 63.656012°
E 15.886231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544097900390625 y=0.731109619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544097900390625 × 214)
    floor (0.544097900390625 × 16384)
    floor (8914.5)     		tx = 8914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731109619140625 × 214)
    floor (0.731109619140625 × 16384)
    floor (11978.5)     		ty = 11978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8914 / 11978 ti = "14/8914/11978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8914/11978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8914 ÷ 214
    8914 ÷ 16384     		x = 0.5440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11978 ÷ 214
    11978 ÷ 16384     		y = 0.7310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5440673828125 × 2 - 1) × π
    0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45191281569226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27688353} λ = 0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45191281569226))-π/2
    2×atan(0.234122027222685)-π/2
    2×0.22997977364211-π/2
    0.459959547284219-1.57079632675     		φ = -1.11083678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11083678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.646259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8914 KachelY 11978 0.27688353 -1.11083678 15.864258 -63.646259
    Oben rechts KachelX + 1 8915 KachelY 11978 0.27726703 -1.11083678 15.886231 -63.646259
    Unten links KachelX 8914 KachelY + 1 11979 0.27688353 -1.11100699 15.864258 -63.656012
    Unten rechts KachelX + 1 8915 KachelY + 1 11979 0.27726703 -1.11100699 15.886231 -63.656012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11083678--1.11100699) × R
    0.000170209999999837 × 6371000     		dl = 1084.40790999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11083678--1.11100699) × R
    0.000170209999999837 × 6371000     		dr = 1084.40790999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27688353-0.27726703) × cos(-1.11083678) × R
    0.000383500000000037 × 0.443911858406812 × 6371000     		do = 1084.60029954051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27688353-0.27726703) × cos(-1.11100699) × R
    0.000383500000000037 × 0.443759331824863 × 6371000     		du = 1084.22763462216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11083678)-sin(-1.11100699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443911858406812-0.443759331824863)×R²
    abs(0.27726703-0.27688353)×0.000152526581948698×R²
    0.000383500000000037×0.000152526581948698×6371000²
    0.000383500000000037×0.000152526581948698×40589641000000     		ar = 1175947.08645506m²