Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8913 / 25938
↖ ↑ ↗
← S 71.808272°
W 82.078858°		 ← 381.39 m → S 71.808272°
W 82.067871°		 →
↑
381.30 m
↓
↑
381.30 m
↓
S 71.811701°
W 82.078858°		 ← 381.32 m →
145 414 m²		 S 71.811701°
W 82.067871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.272018432617188 y=0.791580200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.272018432617188 × 215)
    floor (0.272018432617188 × 32768)
    floor (8913.5)     		tx = 8913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791580200195312 × 215)
    floor (0.791580200195312 × 32768)
    floor (25938.5)     		ty = 25938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8913 / 25938 ti = "15/8913/25938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8913/25938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8913 ÷ 215
    8913 ÷ 32768     		x = 0.272003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25938 ÷ 215
    25938 ÷ 32768     		y = 0.79156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.272003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.45599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.43254631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.5831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83195655588007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43254631} λ = -1.43254631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83195655588007))-π/2
    2×atan(0.160100016506215)-π/2
    2×0.158752780658852-π/2
    0.317505561317703-1.57079632675     		φ = -1.25329077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43254631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.078858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25329077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.808272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8913 KachelY 25938 -1.43254631 -1.25329077 -82.078858 -71.808272
    Oben rechts KachelX + 1 8914 KachelY 25938 -1.43235456 -1.25329077 -82.067871 -71.808272
    Unten links KachelX 8913 KachelY + 1 25939 -1.43254631 -1.25335062 -82.078858 -71.811701
    Unten rechts KachelX + 1 8914 KachelY + 1 25939 -1.43235456 -1.25335062 -82.067871 -71.811701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25329077--1.25335062) × R
    5.98499999999724e-05 × 6371000     		dl = 381.304349999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25329077--1.25335062) × R
    5.98499999999724e-05 × 6371000     		dr = 381.304349999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43254631--1.43235456) × cos(-1.25329077) × R
    0.000191749999999935 × 0.312197770578062 × 6371000     		do = 381.393050300526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43254631--1.43235456) × cos(-1.25335062) × R
    0.000191749999999935 × 0.312140911493566 × 6371000     		du = 381.323589011187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25329077)-sin(-1.25335062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312197770578062-0.312140911493566)×R²
    abs(-1.43235456--1.43254631)×5.68590844959305e-05×R²
    0.000191749999999935×5.68590844959305e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.68590844959305e-05×40589641000000     		ar = 145413.586237143m²