Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8911 / 7863
↖ ↑ ↗
← N  7.209900°
E 15.798340°		 ← 2 423.90 m → N  7.209900°
E 15.820312°		 →
↑
2 423.97 m
↓
↑
2 423.97 m
↓
N  7.188101°
E 15.798340°		 ← 2 424.01 m →
5 875 604 m²		 N  7.188101°
E 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543914794921875 y=0.479949951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543914794921875 × 214)
    floor (0.543914794921875 × 16384)
    floor (8911.5)     		tx = 8911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479949951171875 × 214)
    floor (0.479949951171875 × 16384)
    floor (7863.5)     		ty = 7863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8911 / 7863 ti = "14/8911/7863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8911/7863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8911 ÷ 214
    8911 ÷ 16384     		x = 0.54388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7863 ÷ 214
    7863 ÷ 16384     		y = 0.47991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54388427734375 × 2 - 1) × π
    0.0877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27573305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47991943359375 × 2 - 1) × π
    0.0401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.126169919799988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27573305} λ = 0.27573305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.126169919799988))-π/2
    2×atan(1.13447492165803)-π/2
    2×0.848316413008814-π/2
    1.69663282601763-1.57079632675     		φ = 0.12583650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27573305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.798340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12583650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.209900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8911 KachelY 7863 0.27573305 0.12583650 15.798340 7.209900
    Oben rechts KachelX + 1 8912 KachelY 7863 0.27611654 0.12583650 15.820312 7.209900
    Unten links KachelX 8911 KachelY + 1 7864 0.27573305 0.12545603 15.798340 7.188101
    Unten rechts KachelX + 1 8912 KachelY + 1 7864 0.27611654 0.12545603 15.820312 7.188101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12583650-0.12545603) × R
    0.000380469999999994 × 6371000     		dl = 2423.97436999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12583650-0.12545603) × R
    0.000380469999999994 × 6371000     		dr = 2423.97436999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27573305-0.27611654) × cos(0.12583650) × R
    0.000383490000000042 × 0.992093029690682 × 6371000     		do = 2423.89636319645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27573305-0.27611654) × cos(0.12545603) × R
    0.000383490000000042 × 0.992140708642255 × 6371000     		du = 2424.0128531161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12583650)-sin(0.12545603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992093029690682-0.992140708642255)×R²
    abs(0.27611654-0.27573305)×4.76789515729825e-05×R²
    0.000383490000000042×4.76789515729825e-05×6371000²
    0.000383490000000042×4.76789515729825e-05×40589641000000     		ar = 5875603.91509227m²