Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 891 / 277
↖ ↑ ↗
← N 78.455425°
W 23.378906°		 ← 3 911.74 m → N 78.455425°
W 23.203125°		 →
↑
3 917.66 m
↓
↑
3 917.66 m
↓
N 78.420193°
W 23.378906°		 ← 3 923.52 m →
15 347 916 m²		 N 78.420193°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435302734375 y=0.135498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435302734375 × 211)
    floor (0.435302734375 × 2048)
    floor (891.5)     		tx = 891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135498046875 × 211)
    floor (0.135498046875 × 2048)
    floor (277.5)     		ty = 277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 891 / 277 ti = "11/891/277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/891/277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 891 ÷ 211
    891 ÷ 2048     		x = 0.43505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 277 ÷ 211
    277 ÷ 2048     		y = 0.13525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13525390625 × 2 - 1) × π
    0.7294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29176729703564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40803889} λ = -0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29176729703564))-π/2
    2×atan(9.8924050597411)-π/2
    2×1.47005090751903-π/2
    2.94010181503807-1.57079632675     		φ = 1.36930549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36930549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.455425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 891 KachelY 277 -0.40803889 1.36930549 -23.378906 78.455425
    Oben rechts KachelX + 1 892 KachelY 277 -0.40497093 1.36930549 -23.203125 78.455425
    Unten links KachelX 891 KachelY + 1 278 -0.40803889 1.36869057 -23.378906 78.420193
    Unten rechts KachelX + 1 892 KachelY + 1 278 -0.40497093 1.36869057 -23.203125 78.420193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36930549-1.36869057) × R
    0.000614919999999852 × 6371000     		dl = 3917.65531999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36930549-1.36869057) × R
    0.000614919999999852 × 6371000     		dr = 3917.65531999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40803889--0.40497093) × cos(1.36930549) × R
    0.00306795999999998 × 0.200130228788885 × 6371000     		do = 3911.74008041217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40803889--0.40497093) × cos(1.36869057) × R
    0.00306795999999998 × 0.200732670654823 × 6371000     		du = 3923.51539295427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36930549)-sin(1.36869057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200130228788885-0.200732670654823)×R²
    abs(-0.40497093--0.40803889)×0.000602441865938969×R²
    0.00306795999999998×0.000602441865938969×6371000²
    0.00306795999999998×0.000602441865938969×40589641000000     		ar = 15347915.628022m²