Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 891 / 139
↖ ↑ ↗
← N 78.420193°
E133.242187°		 ← 7 847.04 m → N 78.420193°
E133.593750°		 →
↑
7 870.67 m
↓
↑
7 870.67 m
↓
N 78.349410°
E133.242187°		 ← 7 894.35 m →
61 947 657 m²		 N 78.349410°
E133.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87060546875 y=0.13623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87060546875 × 210)
    floor (0.87060546875 × 1024)
    floor (891.5)     		tx = 891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13623046875 × 210)
    floor (0.13623046875 × 1024)
    floor (139.5)     		ty = 139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 891 / 139 ti = "10/891/139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/891/139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 891 ÷ 210
    891 ÷ 1024     		x = 0.8701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 139 ÷ 210
    139 ÷ 1024     		y = 0.1357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8701171875 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32551487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1357421875 × 2 - 1) × π
    0.728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28869933545996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32551487} λ = 2.32551487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28869933545996))-π/2
    2×atan(9.86210204913144)-π/2
    2×1.46974344974837-π/2
    2.93948689949675-1.57079632675     		φ = 1.36869057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32551487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.242187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36869057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.420193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 891 KachelY 139 2.32551487 1.36869057 133.242187 78.420193
    Oben rechts KachelX + 1 892 KachelY 139 2.33165080 1.36869057 133.593750 78.420193
    Unten links KachelX 891 KachelY + 1 140 2.32551487 1.36745518 133.242187 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 892 KachelY + 1 140 2.33165080 1.36745518 133.593750 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36869057-1.36745518) × R
    0.00123538999999995 × 6371000     		dl = 7870.66968999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36869057-1.36745518) × R
    0.00123538999999995 × 6371000     		dr = 7870.66968999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32551487-2.33165080) × cos(1.36869057) × R
    0.00613592999999968 × 0.200732670654823 × 6371000     		do = 7847.04357458663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32551487-2.33165080) × cos(1.36745518) × R
    0.00613592999999968 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 7894.34848189404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36869057)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200732670654823-0.201942762110113)×R²
    abs(2.33165080-2.32551487)×0.00121009145528975×R²
    0.00613592999999968×0.00121009145528975×6371000²
    0.00613592999999968×0.00121009145528975×40589641000000     		ar = 61947656.5473132m²