Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8909 / 26037
↖ ↑ ↗
← S 72.144787°
W 82.122803°		 ← 374.57 m → S 72.144787°
W 82.111816°		 →
↑
374.49 m
↓
↑
374.49 m
↓
S 72.148155°
W 82.122803°		 ← 374.50 m →
140 259 m²		 S 72.148155°
W 82.111816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271896362304688 y=0.794601440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271896362304688 × 215)
    floor (0.271896362304688 × 32768)
    floor (8909.5)     		tx = 8909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794601440429688 × 215)
    floor (0.794601440429688 × 32768)
    floor (26037.5)     		ty = 26037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8909 / 26037 ti = "15/8909/26037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8909/26037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8909 ÷ 215
    8909 ÷ 32768     		x = 0.271881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26037 ÷ 215
    26037 ÷ 32768     		y = 0.794586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.45623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43331330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.58917236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85093956812961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43331330} λ = -1.43331330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85093956812961))-π/2
    2×atan(0.157089500665201)-π/2
    2×0.155816130320929-π/2
    0.311632260641858-1.57079632675     		φ = -1.25916407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43331330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.122803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25916407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.144787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8909 KachelY 26037 -1.43331330 -1.25916407 -82.122803 -72.144787
    Oben rechts KachelX + 1 8910 KachelY 26037 -1.43312155 -1.25916407 -82.111816 -72.144787
    Unten links KachelX 8909 KachelY + 1 26038 -1.43331330 -1.25922285 -82.122803 -72.148155
    Unten rechts KachelX + 1 8910 KachelY + 1 26038 -1.43312155 -1.25922285 -82.111816 -72.148155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25916407--1.25922285) × R
    5.8780000000036e-05 × 6371000     		dl = 374.48738000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25916407--1.25922285) × R
    5.8780000000036e-05 × 6371000     		dr = 374.48738000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43331330--1.43312155) × cos(-1.25916407) × R
    0.000191749999999935 × 0.306612682315639 × 6371000     		do = 374.570087264439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43331330--1.43312155) × cos(-1.25922285) × R
    0.000191749999999935 × 0.306556732961866 × 6371000     		du = 374.501737337858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25916407)-sin(-1.25922285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306612682315639-0.306556732961866)×R²
    abs(-1.43312155--1.43331330)×5.59493537730105e-05×R²
    0.000191749999999935×5.59493537730105e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.59493537730105e-05×40589641000000     		ar = 140258.972553892m²