Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8908 / 7860
↖ ↑ ↗
← N  7.275293°
E 15.732422°		 ← 2 423.61 m → N  7.275293°
E 15.754395°		 →
↑
2 423.66 m
↓
↑
2 423.66 m
↓
N  7.253496°
E 15.732422°		 ← 2 423.73 m →
5 874 134 m²		 N  7.253496°
E 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543731689453125 y=0.479766845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543731689453125 × 214)
    floor (0.543731689453125 × 16384)
    floor (8908.5)     		tx = 8908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479766845703125 × 214)
    floor (0.479766845703125 × 16384)
    floor (7860.5)     		ty = 7860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8908 / 7860 ti = "14/8908/7860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8908/7860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8908 ÷ 214
    8908 ÷ 16384     		x = 0.543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7860 ÷ 214
    7860 ÷ 16384     		y = 0.479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543701171875 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    0.04052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.127320405390869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27458256} λ = 0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.127320405390869))-π/2
    2×atan(1.13578086980183)-π/2
    2×0.848887066053046-π/2
    1.69777413210609-1.57079632675     		φ = 0.12697781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12697781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.275293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8908 KachelY 7860 0.27458256 0.12697781 15.732422 7.275293
    Oben rechts KachelX + 1 8909 KachelY 7860 0.27496606 0.12697781 15.754395 7.275293
    Unten links KachelX 8908 KachelY + 1 7861 0.27458256 0.12659739 15.732422 7.253496
    Unten rechts KachelX + 1 8909 KachelY + 1 7861 0.27496606 0.12659739 15.754395 7.253496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12697781-0.12659739) × R
    0.000380419999999992 × 6371000     		dl = 2423.65581999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12697781-0.12659739) × R
    0.000380419999999992 × 6371000     		dr = 2423.65581999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27458256-0.27496606) × cos(0.12697781) × R
    0.000383500000000037 × 0.991949143850407 × 6371000     		do = 2423.60801626334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27458256-0.27496606) × cos(0.12659739) × R
    0.000383500000000037 × 0.991997247268955 × 6371000     		du = 2423.72554631165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12697781)-sin(0.12659739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991949143850407-0.991997247268955)×R²
    abs(0.27496606-0.27458256)×4.81034185484397e-05×R²
    0.000383500000000037×4.81034185484397e-05×6371000²
    0.000383500000000037×4.81034185484397e-05×40589641000000     		ar = 5874134.17104982m²