Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8908 / 7844
↖ ↑ ↗
← N  7.623887°
E 15.732422°		 ← 2 421.68 m → N  7.623887°
E 15.754395°		 →
↑
2 421.74 m
↓
↑
2 421.74 m
↓
N  7.602108°
E 15.732422°		 ← 2 421.80 m →
5 864 841 m²		 N  7.602108°
E 15.754395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543731689453125 y=0.478790283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543731689453125 × 214)
    floor (0.543731689453125 × 16384)
    floor (8908.5)     		tx = 8908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478790283203125 × 214)
    floor (0.478790283203125 × 16384)
    floor (7844.5)     		ty = 7844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8908 / 7844 ti = "14/8908/7844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8908/7844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8908 ÷ 214
    8908 ÷ 16384     		x = 0.543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7844 ÷ 214
    7844 ÷ 16384     		y = 0.478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.543701171875 × 2 - 1) × π
    0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478759765625 × 2 - 1) × π
    0.04248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.133456328542236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27458256} λ = 0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.133456328542236))-π/2
    2×atan(1.14277135855423)-π/2
    2×0.851929127088785-π/2
    1.70385825417757-1.57079632675     		φ = 0.13306193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13306193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.623887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8908 KachelY 7844 0.27458256 0.13306193 15.732422 7.623887
    Oben rechts KachelX + 1 8909 KachelY 7844 0.27496606 0.13306193 15.754395 7.623887
    Unten links KachelX 8908 KachelY + 1 7845 0.27458256 0.13268181 15.732422 7.602108
    Unten rechts KachelX + 1 8909 KachelY + 1 7845 0.27496606 0.13268181 15.754395 7.602108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13306193-0.13268181) × R
    0.000380119999999984 × 6371000     		dl = 2421.7445199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13306193-0.13268181) × R
    0.000380119999999984 × 6371000     		dr = 2421.7445199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27458256-0.27496606) × cos(0.13306193) × R
    0.000383500000000037 × 0.991160315516052 × 6371000     		do = 2421.68068895382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27458256-0.27496606) × cos(0.13268181) × R
    0.000383500000000037 × 0.991210674285068 × 6371000     		du = 2421.80372945144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13306193)-sin(0.13268181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991160315516052-0.991210674285068)×R²
    abs(0.27496606-0.27458256)×5.03587690157126e-05×R²
    0.000383500000000037×5.03587690157126e-05×6371000²
    0.000383500000000037×5.03587690157126e-05×40589641000000     		ar = 5864840.99460693m²