Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8908 / 26044
↖ ↑ ↗
← S 72.168352°
W 82.133789°		 ← 374.09 m → S 72.168352°
W 82.122803°		 →
↑
374.04 m
↓
↑
374.04 m
↓
S 72.171715°
W 82.133789°		 ← 374.02 m →
139 913 m²		 S 72.171715°
W 82.122803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271865844726562 y=0.794815063476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271865844726562 × 215)
    floor (0.271865844726562 × 32768)
    floor (8908.5)     		tx = 8908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794815063476562 × 215)
    floor (0.794815063476562 × 32768)
    floor (26044.5)     		ty = 26044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8908 / 26044 ti = "15/8908/26044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8908/26044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8908 ÷ 215
    8908 ÷ 32768     		x = 0.2718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26044 ÷ 215
    26044 ÷ 32768     		y = 0.7947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43350505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43350505} λ = -1.43350505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85228180131897))-π/2
    2×atan(0.15687879136585)-π/2
    2×0.155610488855094-π/2
    0.311220977710189-1.57079632675     		φ = -1.25957535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43350505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.133789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25957535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.168352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8908 KachelY 26044 -1.43350505 -1.25957535 -82.133789 -72.168352
    Oben rechts KachelX + 1 8909 KachelY 26044 -1.43331330 -1.25957535 -82.122803 -72.168352
    Unten links KachelX 8908 KachelY + 1 26045 -1.43350505 -1.25963406 -82.133789 -72.171715
    Unten rechts KachelX + 1 8909 KachelY + 1 26045 -1.43331330 -1.25963406 -82.122803 -72.171715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25957535--1.25963406) × R
    5.87100000000174e-05 × 6371000     		dl = 374.041410000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25957535--1.25963406) × R
    5.87100000000174e-05 × 6371000     		dr = 374.041410000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43350505--1.43331330) × cos(-1.25957535) × R
    0.000191749999999935 × 0.306221185956077 × 6371000     		do = 374.091819945366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43350505--1.43331330) × cos(-1.25963406) × R
    0.000191749999999935 × 0.306165295833825 × 6371000     		du = 374.023542378336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25957535)-sin(-1.25963406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306221185956077-0.306165295833825)×R²
    abs(-1.43331330--1.43350505)×5.58901222514896e-05×R²
    0.000191749999999935×5.58901222514896e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.58901222514896e-05×40589641000000     		ar = 139913.062523288m²