Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8906 / 7838
↖ ↑ ↗
← N  7.754537°
E 15.688477°		 ← 2 420.94 m → N  7.754537°
E 15.710449°		 →
↑
2 420.98 m
↓
↑
2 420.98 m
↓
N  7.732765°
E 15.688477°		 ← 2 421.06 m →
5 861 187 m²		 N  7.732765°
E 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543609619140625 y=0.478424072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543609619140625 × 214)
    floor (0.543609619140625 × 16384)
    floor (8906.5)     		tx = 8906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478424072265625 × 214)
    floor (0.478424072265625 × 16384)
    floor (7838.5)     		ty = 7838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8906 / 7838 ti = "14/8906/7838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8906/7838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8906 ÷ 214
    8906 ÷ 16384     		x = 0.5435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7838 ÷ 214
    7838 ÷ 16384     		y = 0.4783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5435791015625 × 2 - 1) × π
    0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4783935546875 × 2 - 1) × π
    0.043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.135757299723999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27381557} λ = 0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.135757299723999))-π/2
    2×atan(1.14540387002264)-π/2
    2×0.853069267728514-π/2
    1.70613853545703-1.57079632675     		φ = 0.13534221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13534221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.754537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8906 KachelY 7838 0.27381557 0.13534221 15.688477 7.754537
    Oben rechts KachelX + 1 8907 KachelY 7838 0.27419907 0.13534221 15.710449 7.754537
    Unten links KachelX 8906 KachelY + 1 7839 0.27381557 0.13496221 15.688477 7.732765
    Unten rechts KachelX + 1 8907 KachelY + 1 7839 0.27419907 0.13496221 15.710449 7.732765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13534221-0.13496221) × R
    0.000379999999999991 × 6371000     		dl = 2420.97999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13534221-0.13496221) × R
    0.000379999999999991 × 6371000     		dr = 2420.97999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27381557-0.27419907) × cos(0.13534221) × R
    0.000383499999999981 × 0.990855215034038 × 6371000     		do = 2420.93524350542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27381557-0.27419907) × cos(0.13496221) × R
    0.000383499999999981 × 0.990906416664854 × 6371000     		du = 2421.06034334916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13534221)-sin(0.13496221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990855215034038-0.990906416664854)×R²
    abs(0.27419907-0.27381557)×5.12016308168439e-05×R²
    0.000383499999999981×5.12016308168439e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.12016308168439e-05×40589641000000     		ar = 5861187.30846129m²