Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8906 / 11999
↖ ↑ ↗
← S 63.850354°
E 15.688477°		 ← 1 076.79 m → S 63.850354°
E 15.710449°		 →
↑
1 076.64 m
↓
↑
1 076.64 m
↓
S 63.860036°
E 15.688477°		 ← 1 076.42 m →
1 159 116 m²		 S 63.860036°
E 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543609619140625 y=0.732391357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543609619140625 × 214)
    floor (0.543609619140625 × 16384)
    floor (8906.5)     		tx = 8906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732391357421875 × 214)
    floor (0.732391357421875 × 16384)
    floor (11999.5)     		ty = 11999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8906 / 11999 ti = "14/8906/11999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8906/11999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8906 ÷ 214
    8906 ÷ 16384     		x = 0.5435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11999 ÷ 214
    11999 ÷ 16384     		y = 0.73236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5435791015625 × 2 - 1) × π
    0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73236083984375 × 2 - 1) × π
    -0.4647216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45996621482843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27381557} λ = 0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45996621482843))-π/2
    2×atan(0.232244121004688)-π/2
    2×0.2281987119067-π/2
    0.4563974238134-1.57079632675     		φ = -1.11439890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11439890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.850354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8906 KachelY 11999 0.27381557 -1.11439890 15.688477 -63.850354
    Oben rechts KachelX + 1 8907 KachelY 11999 0.27419907 -1.11439890 15.710449 -63.850354
    Unten links KachelX 8906 KachelY + 1 12000 0.27381557 -1.11456789 15.688477 -63.860036
    Unten rechts KachelX + 1 8907 KachelY + 1 12000 0.27419907 -1.11456789 15.710449 -63.860036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11439890--1.11456789) × R
    0.000168989999999924 × 6371000     		dl = 1076.63528999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11439890--1.11456789) × R
    0.000168989999999924 × 6371000     		dr = 1076.63528999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27381557-0.27419907) × cos(-1.11439890) × R
    0.000383499999999981 × 0.440717138335602 × 6371000     		do = 1076.79470867685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27381557-0.27419907) × cos(-1.11456789) × R
    0.000383499999999981 × 0.44056543883997 × 6371000     		du = 1076.42406456071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11439890)-sin(-1.11456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440717138335602-0.44056543883997)×R²
    abs(0.27419907-0.27381557)×0.000151699495632485×R²
    0.000383499999999981×0.000151699495632485×6371000²
    0.000383499999999981×0.000151699495632485×40589641000000     		ar = 1159115.66193742m²