Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8905 / 7839
↖ ↑ ↗
← N  7.732765°
E 15.666504°		 ← 2 421 m → N  7.732765°
E 15.688477°		 →
↑
2 421.11 m
↓
↑
2 421.11 m
↓
N  7.710991°
E 15.666504°		 ← 2 421.12 m →
5 861 645 m²		 N  7.710991°
E 15.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543548583984375 y=0.478485107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543548583984375 × 214)
    floor (0.543548583984375 × 16384)
    floor (8905.5)     		tx = 8905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478485107421875 × 214)
    floor (0.478485107421875 × 16384)
    floor (7839.5)     		ty = 7839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8905 / 7839 ti = "14/8905/7839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8905/7839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8905 ÷ 214
    8905 ÷ 16384     		x = 0.54351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7839 ÷ 214
    7839 ÷ 16384     		y = 0.47845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54351806640625 × 2 - 1) × π
    0.0870361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.27343208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47845458984375 × 2 - 1) × π
    0.0430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.135373804527039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27343208} λ = 0.27343208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.135373804527039))-π/2
    2×atan(1.14496469735559)-π/2
    2×0.852879268709442-π/2
    1.70575853741888-1.57079632675     		φ = 0.13496221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27343208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.666504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13496221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.732765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8905 KachelY 7839 0.27343208 0.13496221 15.666504 7.732765
    Oben rechts KachelX + 1 8906 KachelY 7839 0.27381557 0.13496221 15.688477 7.732765
    Unten links KachelX 8905 KachelY + 1 7840 0.27343208 0.13458219 15.666504 7.710991
    Unten rechts KachelX + 1 8906 KachelY + 1 7840 0.27381557 0.13458219 15.688477 7.710991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13496221-0.13458219) × R
    0.000380020000000009 × 6371000     		dl = 2421.10742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13496221-0.13458219) × R
    0.000380020000000009 × 6371000     		dr = 2421.10742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27343208-0.27381557) × cos(0.13496221) × R
    0.000383489999999986 × 0.990906416664854 × 6371000     		do = 2420.99721270139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27343208-0.27381557) × cos(0.13458219) × R
    0.000383489999999986 × 0.990957477892313 × 6371000     		du = 2421.12196624751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13496221)-sin(0.13458219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990906416664854-0.990957477892313)×R²
    abs(0.27381557-0.27343208)×5.10612274581268e-05×R²
    0.000383489999999986×5.10612274581268e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.10612274581268e-05×40589641000000     		ar = 5861645.40688136m²