Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8904 / 6727
↖ ↑ ↗
← N 80.583438°
W131.088867°		 ← 99.94 m → N 80.583438°
W131.083374°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
N 80.582539°
W131.088867°		 ← 99.95 m →
9 984 m²		 N 80.582539°
W131.083374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135871887207031 y=0.102653503417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135871887207031 × 216)
    floor (0.135871887207031 × 65536)
    floor (8904.5)     		tx = 8904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102653503417969 × 216)
    floor (0.102653503417969 × 65536)
    floor (6727.5)     		ty = 6727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8904 / 6727 ti = "16/8904/6727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8904/6727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8904 ÷ 216
    8904 ÷ 65536     		x = 0.1358642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6727 ÷ 216
    6727 ÷ 65536     		y = 0.102645874023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.728271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.28793235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102645874023438 × 2 - 1) × π
    0.794708251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49664960601176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28793235} λ = -2.28793235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49664960601176))-π/2
    2×atan(12.1417461049779)-π/2
    2×1.488621319445-π/2
    2.97724263888999-1.57079632675     		φ = 1.40644631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28793235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.088867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40644631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.583438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8904 KachelY 6727 -2.28793235 1.40644631 -131.088867 80.583438
    Oben rechts KachelX + 1 8905 KachelY 6727 -2.28783647 1.40644631 -131.083374 80.583438
    Unten links KachelX 8904 KachelY + 1 6728 -2.28793235 1.40643063 -131.088867 80.582539
    Unten rechts KachelX + 1 8905 KachelY + 1 6728 -2.28783647 1.40643063 -131.083374 80.582539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40644631-1.40643063) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40644631-1.40643063) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28793235--2.28783647) × cos(1.40644631) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.163611140974935 × 6371000     		do = 99.9421076094252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28793235--2.28783647) × cos(1.40643063) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.163626609665383 × 6371000     		du = 99.9515566818787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40644631)-sin(1.40643063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163611140974935-0.163626609665383)×R²
    abs(-2.28783647--2.28793235)×1.54686904473844e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.54686904473844e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.54686904473844e-05×40589641000000     		ar = 9984.41667608203m²