Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8903 / 7834
↖ ↑ ↗
← N  7.841615°
E 15.622559°		 ← 2 420.37 m → N  7.841615°
E 15.644531°		 →
↑
2 420.47 m
↓
↑
2 420.47 m
↓
N  7.819847°
E 15.622559°		 ← 2 420.49 m →
5 858 583 m²		 N  7.819847°
E 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543426513671875 y=0.478179931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543426513671875 × 214)
    floor (0.543426513671875 × 16384)
    floor (8903.5)     		tx = 8903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478179931640625 × 214)
    floor (0.478179931640625 × 16384)
    floor (7834.5)     		ty = 7834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8903 / 7834 ti = "14/8903/7834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8903/7834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8903 ÷ 214
    8903 ÷ 16384     		x = 0.54339599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7834 ÷ 214
    7834 ÷ 16384     		y = 0.4781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54339599609375 × 2 - 1) × π
    0.0867919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.27266509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4781494140625 × 2 - 1) × π
    0.043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.137291280511841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27266509} λ = 0.27266509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.137291280511841))-π/2
    2×atan(1.14716224586615)-π/2
    2×0.853829165223608-π/2
    1.70765833044722-1.57079632675     		φ = 0.13686200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27266509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.622559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13686200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.841615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8903 KachelY 7834 0.27266509 0.13686200 15.622559 7.841615
    Oben rechts KachelX + 1 8904 KachelY 7834 0.27304858 0.13686200 15.644531 7.841615
    Unten links KachelX 8903 KachelY + 1 7835 0.27266509 0.13648208 15.622559 7.819847
    Unten rechts KachelX + 1 8904 KachelY + 1 7835 0.27304858 0.13648208 15.644531 7.819847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13686200-0.13648208) × R
    0.000379920000000006 × 6371000     		dl = 2420.47032000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13686200-0.13648208) × R
    0.000379920000000006 × 6371000     		dr = 2420.47032000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27266509-0.27304858) × cos(0.13686200) × R
    0.000383489999999986 × 0.990649006441502 × 6371000     		do = 2420.3683042366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27266509-0.27304858) × cos(0.13648208) × R
    0.000383489999999986 × 0.990700769381963 × 6371000     		du = 2420.49477221831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13686200)-sin(0.13648208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990649006441502-0.990700769381963)×R²
    abs(0.27304858-0.27266509)×5.17629404611641e-05×R²
    0.000383489999999986×5.17629404611641e-05×6371000²
    0.000383489999999986×5.17629404611641e-05×40589641000000     		ar = 5858582.77034009m²