Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8901 / 11977
↖ ↑ ↗
← S 63.636503°
E 15.578613°		 ← 1 084.97 m → S 63.636503°
E 15.600586°		 →
↑
1 084.79 m
↓
↑
1 084.79 m
↓
S 63.646259°
E 15.578613°		 ← 1 084.60 m →
1 176 766 m²		 S 63.646259°
E 15.600586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543304443359375 y=0.731048583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543304443359375 × 214)
    floor (0.543304443359375 × 16384)
    floor (8901.5)     		tx = 8901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731048583984375 × 214)
    floor (0.731048583984375 × 16384)
    floor (11977.5)     		ty = 11977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8901 / 11977 ti = "14/8901/11977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8901/11977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8901 ÷ 214
    8901 ÷ 16384     		x = 0.54327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11977 ÷ 214
    11977 ÷ 16384     		y = 0.73101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54327392578125 × 2 - 1) × π
    0.0865478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27189809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73101806640625 × 2 - 1) × π
    -0.4620361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4515293204953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27189809} λ = 0.27189809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4515293204953))-π/2
    2×atan(0.234211829113824)-π/2
    2×0.230064907301342-π/2
    0.460129814602683-1.57079632675     		φ = -1.11066651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27189809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.578613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11066651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.636503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8901 KachelY 11977 0.27189809 -1.11066651 15.578613 -63.636503
    Oben rechts KachelX + 1 8902 KachelY 11977 0.27228159 -1.11066651 15.600586 -63.636503
    Unten links KachelX 8901 KachelY + 1 11978 0.27189809 -1.11083678 15.578613 -63.646259
    Unten rechts KachelX + 1 8902 KachelY + 1 11978 0.27228159 -1.11083678 15.600586 -63.646259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11066651--1.11083678) × R
    0.000170270000000139 × 6371000     		dl = 1084.79017000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11066651--1.11083678) × R
    0.000170270000000139 × 6371000     		dr = 1084.79017000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27189809-0.27228159) × cos(-1.11066651) × R
    0.000383500000000037 × 0.444064425887685 × 6371000     		do = 1084.97306438633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27189809-0.27228159) × cos(-1.11083678) × R
    0.000383500000000037 × 0.443911858406812 × 6371000     		du = 1084.60029954051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11066651)-sin(-1.11083678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444064425887685-0.443911858406812)×R²
    abs(0.27228159-0.27189809)×0.000152567480873667×R²
    0.000383500000000037×0.000152567480873667×6371000²
    0.000383500000000037×0.000152567480873667×40589641000000     		ar = 1176765.93198429m²