Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 890 / 701
↖ ↑ ↗
← N 49.267804°
W 23.554687°		 ← 12.754 km → N 49.267804°
W 23.378906°		 →
↑
12.769 km
↓
↑
12.769 km
↓
N 49.152970°
W 23.554687°		 ← 12.784 km →
163.048 km²		 N 49.152970°
W 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434814453125 y=0.342529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434814453125 × 211)
    floor (0.434814453125 × 2048)
    floor (890.5)     		tx = 890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342529296875 × 211)
    floor (0.342529296875 × 2048)
    floor (701.5)     		ty = 701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 890 / 701 ti = "11/890/701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/890/701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 890 ÷ 211
    890 ÷ 2048     		x = 0.4345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 701 ÷ 211
    701 ÷ 2048     		y = 0.34228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34228515625 × 2 - 1) × π
    0.3154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.990951588945801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41110685} λ = -0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990951588945801))-π/2
    2×atan(2.69379664019567)-π/2
    2×1.21534086570704-π/2
    2.43068173141409-1.57079632675     		φ = 0.85988540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85988540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.267804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 890 KachelY 701 -0.41110685 0.85988540 -23.554687 49.267804
    Oben rechts KachelX + 1 891 KachelY 701 -0.40803889 0.85988540 -23.378906 49.267804
    Unten links KachelX 890 KachelY + 1 702 -0.41110685 0.85788116 -23.554687 49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 891 KachelY + 1 702 -0.40803889 0.85788116 -23.378906 49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85988540-0.85788116) × R
    0.00200423999999999 × 6371000     		dl = 12769.0130399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85988540-0.85788116) × R
    0.00200423999999999 × 6371000     		dr = 12769.0130399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41110685--0.40803889) × cos(0.85988540) × R
    0.00306796000000004 × 0.652524312637287 × 6371000     		do = 12754.222701056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41110685--0.40803889) × cos(0.85788116) × R
    0.00306796000000004 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 12783.8824821384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85988540)-sin(0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652524312637287-0.654041749545626)×R²
    abs(-0.40803889--0.41110685)×0.00151743690833939×R²
    0.00306796000000004×0.00151743690833939×6371000²
    0.00306796000000004×0.00151743690833939×40589641000000     		ar = 163048253.630662m²