Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 890 / 452
↖ ↑ ↗
← N 70.377854°
W 23.554687°		 ← 6 563.84 m → N 70.377854°
W 23.378906°		 →
↑
6 573.34 m
↓
↑
6 573.34 m
↓
N 70.318738°
W 23.554687°		 ← 6 582.84 m →
43 208 823 m²		 N 70.318738°
W 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434814453125 y=0.220947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434814453125 × 211)
    floor (0.434814453125 × 2048)
    floor (890.5)     		tx = 890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220947265625 × 211)
    floor (0.220947265625 × 2048)
    floor (452.5)     		ty = 452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 890 / 452 ti = "11/890/452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/890/452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 890 ÷ 211
    890 ÷ 2048     		x = 0.4345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 452 ÷ 211
    452 ÷ 2048     		y = 0.220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4345703125 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41110685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220703125 × 2 - 1) × π
    0.55859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75487402129102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41110685} λ = -0.41110685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75487402129102))-π/2
    2×atan(5.78271919656833)-π/2
    2×1.39956079926889-π/2
    2.79912159853778-1.57079632675     		φ = 1.22832527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41110685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22832527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.377854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 890 KachelY 452 -0.41110685 1.22832527 -23.554687 70.377854
    Oben rechts KachelX + 1 891 KachelY 452 -0.40803889 1.22832527 -23.378906 70.377854
    Unten links KachelX 890 KachelY + 1 453 -0.41110685 1.22729351 -23.554687 70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 891 KachelY + 1 453 -0.40803889 1.22729351 -23.378906 70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22832527-1.22729351) × R
    0.00103176000000005 × 6371000     		dl = 6573.34296000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22832527-1.22729351) × R
    0.00103176000000005 × 6371000     		dr = 6573.34296000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41110685--0.40803889) × cos(1.22832527) × R
    0.00306796000000004 × 0.335815671936321 × 6371000     		do = 6563.84411037478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41110685--0.40803889) × cos(1.22729351) × R
    0.00306796000000004 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 6582.83623728091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22832527)-sin(1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335815671936321-0.336787336368205)×R²
    abs(-0.40803889--0.41110685)×0.000971664431883901×R²
    0.00306796000000004×0.000971664431883901×6371000²
    0.00306796000000004×0.000971664431883901×40589641000000     		ar = 43208823.1884008m²